与圆有关的计算最新版

第31讲┃与圆有关的计算与圆有关的计算第31讲┃考点聚焦考点聚焦考点1正多边形和圆正多边形和圆的关系正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆正多边形和圆的有关概念一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的________正多边形外接圆的半径叫做正多边形的________正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的________正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的________中心半径中心角边心距第31讲┃考点聚焦(1)边长：an＝2Rn·sin180°n(2)周长：Pn＝n·an(3)边心距：rn＝Rn·cos180°n(4)面积：Sn＝12an·rn·n(5)内角度数为：（n－2）×180°n(6)外角度数为：360°n正多边形的有关计算(7)中心角度数为：360°n第31讲┃考点聚焦考点2圆的周长与弧长公式圆的周长若圆的半径是R，则圆的周长C＝________弧长公式若一条弧所对的圆心角是n°，半径是R，则弧长l＝________.在应用公式时，n和180不再写单位2πRnπR180考点3扇形的面积公式第31讲┃考点聚焦扇形面积(1)S扇形＝______(n是圆心角度数，R是半径)；(2)S扇形＝______(l是弧长，R是半径)弓形面积S弓形＝S扇形±S△nπR236012lR考点4圆锥的侧面积与全面积第31讲┃考点聚焦图形第31讲┃考点聚焦圆锥简介(1)h是圆锥的高；(2)a是圆锥的母线，其长为侧面展开后所得扇形的________；(3)r是底面半径；(4)圆锥的侧面展开图是半径等于________长，弧长等于圆锥底面________的扇形圆锥的侧面积S侧＝________圆锥的全面积S全＝S侧＋S底＝πra＋πr2半径母线周长πra第31讲┃归类示例归类示例►类型之一正多边形和圆命题角度：1.正多边形和圆有关的概念；2.正多边形的有关计算．A例1[2013·安徽]为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图31－1所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为()A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2第31讲┃归类示例[解析]∵某小区将原来正方形地砖更换为如题图所示的正八边形植草砖，正八边形与其内部小正方形的边长都为a，∴AB＝a，且∠CAB＝∠CBA＝45°，∴sin45°＝BCAB＝BCa＝22，∴AC＝BC＝22a，∴S△ABC＝12×22a×22a＝a24.∵正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：a24×4＝a2，正八边形中间是边长为a的正方形，∴阴影部分的面积为：a2＋a2＝2a2，故选A.圆的内接正n边形（n≥3）的每条边所对的圆心角都相等，为第31讲┃归类示例（n－2）·180°n►类型之二计算弧长命题角度：1．已知圆心角和半径求弧长；2．利用转化思想求弧长．第31讲┃归类示例例2[2013·广安]如图31－2，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝√3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．图31－2(4＋3)π第31讲┃归类示例[解析]根据含30°角的直角三角形三边的关系得到BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．第31讲┃归类示例∵Rt△ABC中，AC＝3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.∵Rt△ABC在直线l上无滑动地翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个AA1的长，2个A1A2的长，∴点A经过的路线长＝120π×2180×3＋90π×3180×2＝(4＋3)π.►类型之三计算扇形面积例3[2013·泰州]如图31－3，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上．将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2.(1)在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；(2)计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算).第31讲┃归类示例命题角度：1.已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积；2.已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积．第31讲┃归类示例图31－3[解析](1)根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可；(2)将△ABC向下平移4个单位，AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积；再向右平移3个单位，AC所扫过的面积是从3为底，以2为高的平行四边形的面积；当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心，以2为半径，圆心角为90°的扇形的面积，再减去重叠部分的面积．第31讲┃归类示例解：(1)如图；(2)由平移，得A1C1∥B1E∥AC，A1C1＝B1E＝AC，∴四边形ACEB1、四边形A1C1EB1都是平行四边形，∴线段AC扫过区域的面积为S▱ACEB1＋S▱A1C1EB1＋S扇形C2A1B1＝4×2＋3×2＋45×π×（22）2360＝14＋π.第31讲┃归类示例变式题[2013·徐州]如图31－4，菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝60°，BD是以点A为圆心、AB长为半径的弧，CD是以点B为圆心、BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为________cm2.图31－43第31讲┃归类示例[解析]连接BD.在菱形ABCD中，∵∠C＝∠A＝60°，CB＝CD＝2cm，∴△BCD是等边三角形．由题意可知，线段CD和CD组成的弓形与线段BD与BD组成的弓形面积相等，所以阴影部分的面积就等于等边三角形BCD的面积．∴S阴影＝S△BCD＝12×3×2＝3(cm2)．故填3.求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果．第31讲┃归类示例►类型之四和圆锥的侧面展开图有关的问题命题角度：1.圆锥的母线长、底面半径等计算；2.圆锥的侧面展开图的相关计算．第31讲┃归类示例例4[2013·无锡]已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是()A．20cm2B．20πcm2C．15cm2D．15πcm2D[解析]∵圆锥的侧面积S＝πra,r＝3cm，a＝5cm，∴S＝15π(cm2)，故选D.►类型之五用化归思想解决生活中的实际问题命题角度：1.用化归思想解决生活中的实际问题；2.综合利用所学知识解决实际问题．第31讲┃归类示例例5[2013·山西]如图31－6是某公园的一角，∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是()图31－6C第31讲┃归类示例[解析]先根据半径OA长是6米，C是OA的中点可知OC＝12OA＝3，再在Rt△OCD中，利用勾股定理求出CD的长，根据锐角三角函数的定义求出∠DOC的度数，由S阴影＝S扇形AOD－S△DOC即可得出结论．第31讲┃归类示例∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC＝12OA＝12×6＝3(米)，∵∠AOB＝90°，CD∥OB，∴CD⊥OA.在Rt△OCD中，∵OD＝6米，OC＝3米，∴CD＝OD2－OC2＝62－32＝33(米)．∵sin∠DOC＝CDOD＝336＝32，∴∠DOC＝60°.∴S阴影＝S扇形AOD－S△DOC＝60×π×62360－12×3×33＝6π－923(米2)．第31讲┃回归教材用“转化思想”求图形的面积回归教材教材母题江苏科技版九上P146例2如图31－6，正三角形ABC边长为a，分别以A、B、C为圆心，0.5a的半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求O1O2、O2O3、O3O1围成的图形面积S(图中阴影部分)．图31－6第31讲┃回归教材解：S＝S△ABC－3S扇形AO1O3.∵S△ABC＝12a·32a＝34a2，S扇形AO1O3＝60πa22360＝πa224，∴S＝34a2－3×πa224＝23－π8a2.第31讲┃回归教材[点析]不规则图形的面积通常是转化成规则图形的面积的和差关系求解．[2013·绵阳]如图31－7，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留两位有效数字，参考数据：π≈3.14)第31讲┃回归教材图31－7中考变式7[解析]阴影部分的面积＝正方形的面积－4π2－1＝4－2π＋4≈8－6.28≈1.7.现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐，可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式，在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同