第10章-能量法题解

73第10章习题解答10-1两根材料相同的圆截面直杆，其形状和尺寸如图所示。试比较两杆的变形能。解：22222dElFEAlFUaa2222222287283241286dElFdElFdElFEAlFEAlFUabb716872baUU10-2已知图示等截面外伸梁的抗弯刚度EI，试求梁的变形能及A截面的转角。解：1.支反力lMFFCB022.弯矩AB段：01MxM）（（0≤x1≤l/2）CB段：2022xlMxM）（（0≤x2≤l/2）3.变形能EIlMdxxlMdxMEIUll34212020222220201204.位移EIlMUMA321200，EIlMA320（）10-3图示桁架各杆抗拉压刚度EA均相等，试求桁架的变形能及C点的水平位移。Fdl（a）（b）Fl——38l——38l——14d2d2dM0CAB2l2lM0CABx2x1FBFClCFDBllA（a）FDBAFAyFAxFB12345C（b）N1N2N3N4N5N3（c）FBFCDB74解：1.支反力FFAx，2FFFBAy2.各杆长度lll231，llll5423.各杆轴力由节点B的平衡条件得FN223（压），25FN（拉）；由节点D的平衡条件得02N，24FN（拉）；由节点C的平衡条件得FN221（拉）。4.变形能EAlFEAlFlFlFEAU2222957.04122222222215.位移EAlFFCH2957.021，EAFlCH914.1（→）10-4图示等截面曲杆为1/4圆周，其抗弯刚度EI已知，试求曲杆的变形能及B点的铅垂位移。解：1弯矩sinFRM）（（0≤θ≤π/2）2.变形能20322228sin21EIRFRdRFEIU3.位移EIRFFBV82132EIFRBV43（↓）10-5图示阶梯形变截面圆轴两端承受扭矩Mn作用，d2=1.5d1，材料的切变模量G已知，试求圆轴的变形能及圆轴两端的相对扭转角。解：1.圆轴扭矩Mn=T2.变形能2011221lPndxIMGU2022221lPndxIMG124PGIlT224PGIlT41281776GdlT3.位移T2141281776GdlT，41811552GdTlTTd2d12l2lx2x1FBAORM(θ)θFBO7510-6已知梁的抗弯刚度EI和支座B的弹簧刚度k，试求截面C的挠度。解：1.支反力32FFA，3FFB2.内力梁的弯矩：AC段1132FxxM）（（0≤x1≤l/3）BC段2231FxxM）（（0≤x2≤2l/3）弹簧轴力：3FN3.在C点施加单位力，单位力引起的内力梁的弯矩：AC段11032xxM）（（0≤x1≤l/3）BC段22031xxM）（（0≤x2≤2l/3）弹簧轴力：310N4.莫尔积分30121941lCdxFxEIv320222911ldxFxEIkFEIFlFk9243431313（↓）10-7图示简支梁B端悬吊在直杆CB上，已知梁的抗弯刚度EI和杆的抗拉刚度EA，试求梁中点D的挠度。解：1.载荷引起的内力杆：2qlN梁：AD段2212qxxqlxM）（（0≤x≤l/2）2.在D点施加单位力，单位力引起的内力杆：21N梁：AD段xxM210）（（0≤x≤l/2）3.莫尔积分EAqlaEIqlqlEAaxdxqxxqlEIvlD438452122121224202（↓）CFBA3l32lFBFAx1x2C1BADqBAaC2l2lxD1BAC7610-8试求图示简支梁A截面的转角，已知梁的抗弯刚度EI。解：1.支反力qaFA41，qaFB432.弯矩AC段：1141qaxxM）（（0≤x1≤a）BC段：22222143qxqaxxM）（（0≤x2≤a）3.在A截面施加单位力偶，单位力偶引起的支反力和内力支反力aFA210（↓），aFB210（↑）弯矩AC段：11011x2axM）（（0≤x1≤a）BC段：2201x2axM）（（0≤x2≤a）4.莫尔积分aAdxxaqaxEI0111211411adxxaqxqaxEI0222222121431EIqa4873（）10-9试求图示变截面梁A截面转角和B截面的挠度，已知材料的弹性模量E。解：1.支反力aMFA20（↓），aMFC20（↑）2.弯矩AC段：1012xaMxM）（（0≤x1≤2a）BC段：01MxM）（（0≤x2≤a）3.计算A截面转角在A截面施加单位力偶，单位力偶引起的弯矩AC段：11110x2axM）（（0≤x1≤2a）BC段：020）（xM（0≤x2≤a）莫尔积分aAEIaMdxxaxaMEI20011106121221）（4.计算B截面挠度在B截面施加单位力，单位力引起的弯矩2aaABCM02IIABC1ABC1x1x2FAFCCABaaCABx1x21FAFBq77AC段：1101x2xM）（（0≤x1≤2a）BC段：220xxM）（（0≤x2≤a）莫尔积分120210421dxxaMEIvaBEIaMdxxMEIa651202020（↓）10-10已知图示组合梁的抗弯刚度EI，试求中间铰B左右两截面的相对转角。（提示：在中间铰B两侧加一对单位力偶，分别写出两边弯矩方程，并注意到中间铰处的弯矩为零。）解：1.载荷引起的弯矩BA段：21qx2xM）（（0≤x≤l）2.在中间铰B的两边施加一对单位力偶，单位力偶引起的弯矩BA段：lxxM10）（（0≤x≤l）3.莫尔积分EIqldxlxqxEIl247121130210-11外伸梁受力如图所示，M=Fl/4，已知抗弯刚度EI，试用图乘法求D点的铅垂位移和B截面的转角。解：分别画出集中力F和力偶M引起的弯矩图，在D点施加铅垂单位力，在B截面施加单位力偶，并分别画出单位力和单位力偶引起的弯矩图。1.D点的铅垂位移84211llFlEIvDV4324211llFlEI8441llFlEIEIFl38453（↓）2.B截面的转角CBAllqCBA1xFBCA2l2l4lDM1BCADFlV4FlV4FlV81212l4（MF）（MM）（M0）（M0）1BCAD783128211lFlEIB41281lFlEIEIFllFlEI9661282112（）10-12图示外伸梁由于温差变化产生弯曲变形，已知梁顶面温度为t1℃，梁底面温度为t2℃（t2＞t1），设温度沿梁高h为线形变化，材料的线膨胀系数为α，试求自由端C的挠度。解：用单位载荷法求解。1.由于温差引起微段梁两端相对转角（参阅例10-7）hdxttd）（122.在C端施加单位力，单位力引起弯矩AB段：110xlaxM）（（0≤x1≤l）CB段：220xxM）（（0≤x2≤a）3.自由端C的挠度101211dxhttxlaEIvlC）（hlaattdxhttxEIa211220122）（）（）（）（计算结果为负，C点的挠度向上。10-13图示刚架由于沿截面高度线性变化的温差而弯曲变形（不计杆的拉压变形），设外表面温度为t1℃，内表面温度为t2℃（t2＞t1），AB杆和BC杆截面相同，高度均为h，材料的线膨胀系数为α，试求自由端C的水平位移、铅垂位移及转角。解：用单位载荷法求解。1.由于温差引起微段杆两端相对转角（参阅例10-7）hdxttd）（122.在C端施加向上铅垂单位力，单位力引起弯矩CB段：110xxM）（（0≤x1≤l）laABCt1t21ABCx2x1t1llCBAt1t2t21CBAx1x21CBAx1x21CBAx1x279BA段：lxM）（20（0≤x2≤l）10121dxhttxlCV）（httldxhttll231222012）（）（3.在C端施加向左水平单位力，单位力引起弯矩CB段：010）（xM（0≤x1≤l）；BA段：220xxM）（（0≤x2≤l）httldxhttxlCH212220122）（）（4.在C端施加单位力偶，单位力偶引起弯矩CB段：110）（xM（0≤x1≤l）BA段：120）（xM（0≤x2≤l））（）（）（httldxhttlC1220122210-14图示桁架各杆抗拉压刚度均为EA，试求节点B的水平位移和BC杆的转角。解：1.载荷引起各杆的轴力由节点B的平衡条件得N1=F（拉），N2=F（压）由节点C的平衡条件得N3=F/2（拉）2.在节点B施加向右水平单位力，单位力引起的轴力由节点B的平衡条件得330201NN（拉），由节点C的平衡条件得6303N（压）。B点的水平位移EAFlEAFlEAFlEAFlBH1231233333（←）（↑）（←）BFN1N2F60°60°BCAl12360°60°B1CA12360°60°B1CA1123CFCN3N2B1N1N2CFCN3N2B1N1N2CFCN3N21803.在BC杆两端节点B和C各施加一垂直杆轴线的单位力，单位力引起的轴力由节点B的平衡条件得33201N（拉），3302N（压），由节点C的平衡条件得3303N（压）。B，C点的相对位移EAFlEAFlEAFlEAFlBC6356333332BC杆的转角EAFlBCBC635（）10-15图示桁架各杆抗拉压刚度均为EA，试求节点A的铅垂位移。解：1.各杆的长度lll241，llll5322.载荷引起各杆的轴力由节点A的平衡条件得FN21（压），FN2（拉）由节点B的平衡条件得FN24（拉），FN3（压）由节点C的平衡条件得FN5（压）3.在A点施加铅垂单位力，单位力引起各杆的轴力由节点A的平衡条件得201N（压），102N（拉）由节点B的平衡条件得204N（拉），103N（压）由节点C的平衡条件得105N（压）4.A点的铅垂位移EAFlEAFlEAFlAV）（2433222（↓）10-16刚架受力如图所示，抗弯刚度EI已知，试求D点铅垂位移。AFN1N245°45°DFBClA1234545°45°D1BCA12345CFCN3N5N1N3BN4N281解：1.载荷引起的弯矩DB段：11FxFaxM）（（0≤x1≤a）BC段：222212qxFaxM）（（0≤x2≤2a）2.在D点施加单位力，单位力引起的弯矩DB段：110xxM）（（0≤x1≤a）；BC段：axM）（20（0≤x1≤2a）3.D点的铅垂位移aDVdxxFxFaEI01111）（EIqaEIFaadxqxFaEIa3462921214320222（↓）10-17图示刚架抗弯刚度EI已知，试求A点铅垂位移和C处转角。解：1.在A点施加单位力，在C截面施加单位力偶，分别画出载荷和单位力的弯矩图。2.A点的铅垂位移EIFaaaFaEIAV31）（（↑）3.C处的转角EIFaaFaEIC211）（（）10-18图示刚架抗弯刚度EI已知，试求A，B两点相对位移。aFCBAa2aDq1CBAx1x2DaFDCBaaAFaFDCBAa1DCBA11DCBAM图M0图M0图aFFABC45°Fa