《概率论与数理统计》第七章假设检验.

第1页**共23页第七章假设检验学习目标知识目标：理解假设检验的基本概念小概率原理；掌握假设检验的方法和步骤。能力目标：能够作正态总体均值、比例的假设检验和两个正态总体的均值、比例之差的假设检验。参数估计和假设检验是统计推断的两种形式，它们都是利用样本对总体进行某种推断，然而推断的角度不同。参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。而在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出一个假设，然后利用样本数据检验这个假设是否成立，如果成立，我们就接受这个假设，如果不成立就拒绝原假设。当然由于样本的随机性，这种推断只能具有一定的可靠性。本章介绍假设检验的基本概念，以及假设检验的一般步骤，然后重点介绍常用的参数检验方法。由于篇幅的限制，非参数假设检验在这里就不作介绍了。第一节假设检验的一般问题关键词：参数假设；检验统计量；接受域与拒绝域；假设检验的两类错误一、假设检验的基本概念（一）原假设和备择假设为了对假设检验的基本概念有一个直观的认识，不妨先看下面的例子。例7.1某厂生产一种日光灯管，其寿命X服从正态分布)200,(2N，从过去的生产经验看，灯管的平均寿命为1550小时，。现在采用新工艺后，在所生产的新灯管中抽取25只，测其平均寿命为1650小时。问采用新工艺后，灯管的寿命是否有显著提高？这是一个均值的检验问题。灯管的寿命有没有显著变第2页**共23页化呢？这有两种可能：一种是没有什么变化。即新工艺对均值没有影响，采用新工艺后，X仍然服从)200,1550(2N。另一种情况可能是，新工艺的确使均值发生了显著性变化。这样，1650X和15500之间的差异就只能认为是采用新工艺的关系。究竟是哪种情况与实际情况相符合，这需要作检验。假如给定显著性水平05.0。在上面的例子中，我们可以把涉及到的两种情况用统计假设的形式表示出来。第一个统计假设1550表示采用新工艺后灯管的平均寿命没有显著性提高。第二个统计假设1550表示采用新工艺后灯管的平均寿命有显著性提高。这第一个假设称为原假设（或零假设），记为0H：1550；第二个假设1550称为备择假设，记为1H：1550。至于在两个假设中，采用哪一个作为原假设，哪一个作为备择假设，要看具体的研究目的和要求而定。假如我们的目的是希望从子样观察值对某一陈述取得强有力的支持，则把该陈述的否定作为原假设，该陈述本身作为备择假设。譬如在上例中，我们的目的当然是希望新工艺对产品寿命确有提高，但又没有更多的数据可以掌握。为此，我们取“寿命没有显著性提高)1550(”作原假设，而以“寿命有显著性提高)1550(”作为备择假设。（二）检验统计量假设检验问题的一般提法是：在给定备择假设1H下对原假设0H作出判断，若拒绝原假设0H，那就意味着接受备择假设1H，否则就接受原假设0H。在拒绝原假设0H或接受备择假设1H之间作出某种判断，必须要从子样),,,(21nXXX出发，制定一个法则，一旦子样),,,(21nxxx的观察值确定之后，利用我们制定的法则作出判断：拒绝原假设0H还是接受原假设0H。那么检验法则是什么呢？它应该是定义在子样空间上的一个函数为依据所构造的一个准则，这个函数一般称为检验统计量。如上面列举的原假设0H：)1550(00，第3页**共23页那么子样均值X就可以作为检验统计量，有时还可以根据检验统计量的分布进一步加工，如子样均值服从正态分布时将其标准化，nXZ/0作为检验统计量，简称Z检验量。或者在总体方差2未知的条件下，nSXtn/0作为检验量，称为t检验量。（三）接受域和拒绝域假设检验中接受或者拒绝原假设0H的依据是假设检验的小概率原理。所谓小概率原理，是指发生概率很小的随机事件在一次实验中几乎是不可能发生的，根据这一原理就可以作出接受或是拒绝原假设的决定。如，一家厂商声称其某种产品的合格率很高，可以达到99﹪，那么从一批产品（如100件）中随机抽取一件，这一件恰好是次品的概率就非常之小，只有1﹪。如果把厂商的宣称，即产品的次品率仅为1﹪作为一种假设，并且是真的。那么由小概率原理，随机抽取一件是次品的情形就几乎是不可能发生的。如果这种情形居然发生了，这就不能不使人们怀疑原来的假设，即产品的次品率仅为1﹪的假设的正确性，这时就可以作出原假设为伪的判断，于是否定原假设。接受域和拒绝域是在给定的显著性水平下，由检验法则所划分的样本空间的两个互不相交的区域。原假设0H为真时的可以接受的可能范围称为接受域，另一区域是当原假设0H为真时只有很小的概率发生，如果小概率事件确实发生，就要拒绝原假设，这一区域称为拒绝域（或否定域）。落入拒绝域是个小概率事件，一旦落入拒绝域，就要拒绝原假设而接受备择假设。那么应该确定多大的概率算作小概率呢？这要根据不同的目的和要求而定，一般选择05.0或者01.0，通常用表示。它说明用多大的小概率来检验原假设。显然愈小愈不容易推翻原假设，而一旦拒绝原假设，原假设为真的可能性就越小。所以在作假设检验时通常要事先给定显著性水平.（1称为置信水平）。图7-1所示Z检验时的拒绝域和接受域。第4页**共23页（四）假设检验中的两类错误由前面已知，假设检验是在子样观察值确定之后，根据小概率原理进行推断的，由于样本的随机性，这种推断不可能有绝对的把握，不免要犯错误。所犯错误的类型有两类：一类错误是原假设0H为真时却被拒绝了。这类错误称为弃真错误，犯这种错误的概率用表示，所以也叫错误或第一类错误。另一类错误是指原假设0H为伪时，却被人们接受而犯了错误。这是一种取伪的错误，这种错误发生的概率用表示，故也称错误或第二类错误。在厂家出售产品给消费者时，通常要经过产品质量检验，生产厂家总是假定产品是合格的，但检验时厂家总要承担把合格产品误检为不合格产品的某些风险，生产者承担这些风险的概率就是，所以也称为生产者风险。而在消费者一方却耽心把不合格产品误检为合格品而被接受，这是消费者承担的某些风险，其概率就是，因此第二类错误也称为消费者风险。正确的决策和犯错误的概率可以归纳为表7.1。自然，人们希望犯这两类错误的概率愈小愈好。但对于一定的子样容量n，不可能同时做到犯这两类错误的概率都很小。通常的假设检验只规定第一类错误，即显著性水平，而不考虑第二类错误，并称这样的检验为显著性检验。表7.1假设检验中各种可能结果的概率接受0H拒绝0H，接受1H0H为真1（正确决策）（弃真错误）第5页**共23页（五）双边检验和单边检验根据假设的形式，可以把检验分为双边检验和单边检验，单边检验又进一步分为右检验和左检验。1、双边检验例如，检验的形式为：0H：01H：0由于我们在这里提出的原假设是等于某一数值0，所以只要0或0二者之中有一个成立，就可以否定原假设，这种假设检验称为双边检验，它的拒绝域分为两个部分，有两个临界值，在给定显著性水平下，每个拒绝域的面积为2/。双边检验如图7.2所示。2、单边检验在有些情况下，我们关心的假设问题带有方向性。例如产品的次品率则要求愈低愈好，它不能高于某一指标，当高于某一指标，就要拒绝原假设，这就是单边检验。这时拒绝域的图形在右侧，就称作单边右检验。检验的形式可以写为：0H：0，1H：0。又例如，灯管的使用寿命，药物的有效成分这类产品质量指标是愈高愈好，它不能低于某一标准，当低于某一标准时就要拒绝原假设，这时拒绝域的图形在0H为伪（取伪错误）1（正确决策）第6页**共23页左侧，就称为单边左检验。检验的形式为：0H：0，1H：0。二、假设检验的一般步骤一个完整的假设检验过程，一般包括五个主要步骤：（一）提出原假设和备择假设确定是双边检验还是单边检验，例如双边检验为：0H：0，1H：0。单边左检验为：0H：0，1H：0。单边右检验为：0H：0，1H：0。（二）建立检验统计量建立检验统计量是假设检验的重要步骤。譬如上例中，在总体X服从正态分布)200,(2N的假定下，当原假设0H：1550成立时，建立检验统计量nXZ/2001550，那么Z就服从标准正态分布)1,0(N。在具体问题里，选择什么统计量作为检验统计量，需要考虑的因素与参数估计相同。例如，用于进行检验的样本是大样本还是小样本，总体方差是已知还是未知等等，在不同条件下应选择不同的检验统计量。第7页**共23页（三）规定显著性水平，确定0H的拒绝域例如，当原假设0H：0成立时，检验统计量U服从标准正态分布)1,0(N，那么给定显著性水平（)10，按双边检验，在标准正态分布表中查得临界值2z，使得}{2zZP，或者1}{22zZzP。若由子样),,,(21nXXX的一组观察值),,,(21nxxx算得统计量Z的值z落在),(2z或),(2z时，则拒绝或否定0H，),(2z及),(2z组成0H的拒绝域，称2z为临界值。（四）计算实际检验量在例7.1中，5.225/20015501650/0nXz。（五）判断将实际检验量的数值与临界值比较，以确定接受或拒绝0H。在本例中，645.105.0uz。实际检验量u之值大于临界值645.1,即落入拒绝域，故拒绝0H：1550，接受假设1H：1550，即可认为采用新工艺后日光灯管的平均寿命有显著性提高。第8页**共23页第二节正态总体的参数检验关键词：总体均值的检验;总体比例的检验；单边右检验；单边左检验；两个总体均值之差；两个总体比例之差一、一个正态总体的参数检验（一）总体均值的检验１、正态总体且方差2已知例7.2某厂生产一种耐高温的零件，根据质量管理资料，在以往一段时间里，零件抗热的平均温度是12500C，零件抗热温度的标准差是1500C。在最近生产的一批零件中，随机测试了100个零件，其平均抗热温度为12000C。该厂能否认为最近生产的这批零件仍然符合产品质量要求，而承担的生产者风险为0.05。解：从题意分析知道，该厂检验的目的是希望这批零件的抗热温度高于12500C，而低于12500C的应予拒绝，因此这是一个左边检验问题。（1）提出假设：0H：,12501H：1250。（2）建立检验统计量为：nXZ/0。（3）根据给定的显著性水平05.0，查表得临界值645.105.0z，因此拒绝域为)645.1,(。（4）计算检验量的数值33.3100/15012501200/0nXz。（5）因为)645.1,(33.3，落入拒绝域，故拒绝原假设或接受备择假设，认为最近生产的这批零件的抗高温性能低于12500C，不能认为产品符合质量要求。２、大样本，总体分布和总体方差2未知第9页**共23页在大样本的条件下，不论总体是否服从正态分布，由中心极限定理可知，样本均值X近似服从正态分布),(2nN，（为总体均值，2为总体方差，n为样本容量）。总体方差未知时，可用大样本方差2121)(11XXnSniin代替总体方差2来估计。所以总体均值的检验量为：nSXZn/10。例7.3某阀门厂的零件需要钻孔，要求孔径cm10，孔径过大过小的零件都不合格。为了测试钻孔机是否正常，随机抽取了100件钻孔的零件进行检验，测得cmX6.9，cms1。给定05.0，检验钻孔机的操作是否正常。解：从题意可知，这是一个总体均值的双边检验问题。（1）提出假设：0H：,101H：10。（2）建立检验统计量：nSXZn/10。（3）由给定的显著性水平05.0，查表得临界值96.12/z，因此拒绝域为)96.1,(及),96.1(。（4）计算实际检验量的数值：4100/1106.9/10nSXzn。（5）因为)96.1