第四章-稳定性与李雅普诺夫方法

从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关。但非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。§4－1李雅普诺夫关于稳定性的定义一、系统状态的运动及平衡状态设所研究的齐次状态方程为[,]xfxt（4-1）式中x---n维状态矢量；---与x同维的矢量函数。它是x的各元素f12,nxxx和时间t的函数。一般地，为时变的非线性函数。如果不显含t，则为定常的非线性函数。00(;,)xtxt0000(;,)xtxt[,]efxtx[,]fxt设方程式（4-1）在给定条件（t0，x0）下，有唯一解式中---表示x在初始时刻t0时的状态；t---是从开始观察的时间变量。≡0（4-3）成立，则称xe为系统的平衡状态。＝＝Ax(4-2)式（4-2）实际上描述了系统式（4-1）在n维状态空间中从初始条件出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨迹。00,tx若系统式（4-1）存在状态矢量，对所有t，都使ex对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统11xx32122xxxx当A为非奇异矩阵时，满足Axe≡0是系统唯一存在的一个平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态，它们是由方程式（4-3）所确定的常值解，例如系统就有三个平衡状态123000;;011eeexxx由于任意一个已知的平衡状态，都可通过坐标变换将其移到坐标原点ex＝0处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。应当指出，稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。二、稳定性的几个定义exxexexexxexx122221122()()()eeennexxxxxxxxex0exx若用表示状态矢量x与平衡状态的距离，用点集s（ε）表示以为中心ε为半径的超球体，那么x∈s（ε），则表≤ε---为欧几里德范数。当ε很小时，则称s（ε）为的邻域。因此，若有x0∈s（ε），式中在n维状态空间中，有（4-6）（4-5）则意味着同理，若方程式（4－1）的解位于球域s（ε）内，便有00(;,)etxtx00,exxt000(;,),etxtxttex另一实数δ(ε，t0)0，使当时，从任意初态x0出发的解都满足则称平衡状态也与t0有关。如果δ与t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。同理，若方程式（4-1）的解位于球域s（ε）内，便有（4-7）0tt式（4-7）表明齐次方程式（4-1）由初态或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种情况。0x1李雅普诺夫意义下稳定如果由方程式（4－1）描述的系统对于任意选定的实数ε0，都对应存在（4-8）（4-9）为李雅普诺夫意义下稳定。其中实数δ与ε有关，一般情况下exexex如果平衡状态而且最终收敛于，则称这种平衡状态从工程意义上说，渐进稳定比稳定更重要。但由于渐进稳定是一个局部概念，通常只确定某平衡状态的渐进稳定性并不意味着整个系统就能正常运行，因此，如何确定渐进稳定的最大区域，并且尽量扩大其范围是尤其重要的。2渐进稳定是稳定的，而且当t无限增长时，轨迹不仅不超过s（ε），渐进稳定。3大范围渐进稳定exex如果平衡状态具有渐进稳定性，则称这种平衡状态进稳定的必要条件是在整个状态空间只有一个平衡状态。对于线性系统来说，如果平衡状态是渐进稳定的，则必然也是大范围渐进稳定的。对于非线性系统，使为渐进稳定平衡状态的球域s（δ）一般不大的，常称这种平衡状态为小范围渐进稳定。是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出发的轨迹都大范围渐进稳定。显然，大范围渐4不稳定ex00(;,)txtexlim()0txtexex如果对于某个实数ε0和任一实数δ0，不管δ这个实数多么小，由s（δ）内出发的状态轨迹，至少有一个轨迹越过s（ε），则称这种；平衡状态从上述定义看出，球域s（δ）限制着初始状态x0的取值，球域s（ε）规定了系统自由响应x（t）＝的边界。简单地说，如果x（t）有界，则稳定。如果x（t）不仅有界而且有，收敛于原点，则称稳定。如果x（t）为无界，则称定的系统才称做稳定系统。只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐进稳定的系统则称临界稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。不稳定。称渐进不稳定。在经典控制理论中，只有渐进稳§4－2李雅普诺夫第一法xAxbu0ex以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。一线性系统的稳定判据线性定常系统∑＝（A，b，c）李雅普诺夫第一法简称间接法。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判定系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。ycx（4-10）平衡状态渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定。线性定常系统∑＝（A，b，c）输出稳定的充要条件是其传递函数（4-11）1WscsIAb的极点全部位于s的左半平面。[例4-1]设系统的状态空间表达式为101011xxu10yx试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。解（1）由A阵的特征方程110IA可得特征值。故系统的状态不是渐进稳定的。121;1（2）由系统的传递函数111011110011(1)(1)1ssWscsIABssss可见传递函数的极点s＝－1位于s的左半平面，故系统输出稳定。这是因为具有正实部的特征值＝+1被系统的零点s＝+1对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出来。由此可见，只有当系统的传递函数W（s）不出现零、极点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W（s）的极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性相一致。2§4－3李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统运动方程。而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达到最小值，那么这个平衡状态试渐进稳定的。反之，如果系统不断的从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。()Vx()()dVxVxdt由于系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系，于是李雅普诺夫定义一个正定的标量函数V（x），作为虚构的广义能量函数，然后，根据的符号特征来判别系统的稳定性。对于一个给定系统如果能找到一个正定的标量函数V（x），而是负定的，则这个系统是渐进稳定的。这个V（x）叫做李雅普诺夫函数。实际上，任何一个标量函数只要满足李雅普诺夫稳定性判据所假设的条件，均可作为李雅普诺夫函数。一预备知识1标量函数的符号性质22122xx212()xx22122xx212()xx12xx设V（x）为由n维矢量x所定义的标量函数，x∈Ω，且在x＝0处，恒有V（x）＝0。对所有在域Ω中的任何非零矢量x，如果成立（1）V（x）0，则称V（x）为正定的。例如，V（x）＝（2）V（x）≥0，则称V（x）为半正定（或非负定）的。例如V（x）＝（3）V（x）0，则称V（x）为负定的。例如，V（x）＝（4）V（x）≤0，则称V（x）为半负定（或非正定）的。例如V（x）＝（5）V（x）0或V（x）0，则称V（x）为不定的。例如V（x）＝[例4-3]判别下列各函数的符号性质。22123()xxx2221xx1111212212221212nnTnnnnnnxpppxpppVxxPxxxxxppp（1）设x＝[x1x2x3]T，标量函数为（2）设x＝[x1x2x3]T，标量函数为V（x）＝设x1，x2，…，xn为n个变量，定义二次型标量函数为（4-17）V（x）＝因为有V（0）＝0，而且对非零x，例如也使V（x）＝0。所以V（x）为半正定的。0Txaa因为有V（0）＝0，而且当也使V（x）＝0。所以V（x）为半正定的。00Txa2二次型标量函数TxPxxTx1()TTTTVxxPxxTPTxxTPTx1200TTnxPxxx21niiix如果pij＝pji，则称P为实对称阵。对于二次型V（x）＝对称阵，则必存在正交矩阵T，通过变换，使之化成称式（4-18）为二次型函数的标准形。它只包含变量的平方项，其中λi（i＝1，2，…，n）为对称矩阵P的互异特征值，且均为实数。则V（x）正定的充要条件是对称阵P的所以特征值均λi大于零。，若P为实（4-18）TxPxTxPx矩阵P的符号性质定义如下。设P为n×n实对称方阵，V（x）＝（1）若V（x）正定，则称P为正定，记作P0。（2）若V（x）负定，则称P为负定，记作P0。（3）若V（x）半正定（非负定），则称P为半正定（非负定），记作P≥0。（4）若V（x）半负定（非正定），则称P为半负定（非正定），记作P≤0。由上可见，矩阵P的符号与由其所决定的二次型函数V（x）＝的符号性质完全一致。因此，要判别V（x）的符号只要判别P的符号即可。为由P所定义的二次型函数。111212122212;nnijjinnnnpppppppppppp111211122122,,,npppPpp（4-20）3希尔维斯特判据设实对称矩阵（4-19），（i＝1，2，…，n）为其各阶主子行列式，i00ii为偶数为奇数030iii=1,2,n-1若=n000iiii≥为偶数4若≤为奇数＝n矩阵P（或V（x））定号性充要条件是：1.若Δi0（i＝1，2，…，n）则P（或V（x））为正定的。2.若Δi，（i＝1，2，…，n）则P（或V（x））为负定的。，（i＝1，2，…，n）则P（或V（x））为半，（i＝1，2，…，n）则P（或V（x））为半正定（非负定）的。负定（非正定）的。[]xfx0ex,[]0efx满足ex1()Vx）若()Vxx,Vx时如果存在一个标量函数V（x），它满足：1.V（x）对所有x都具有连续的一阶偏导数。2.V（x）是正定的，即当x＝0，V（x）＝0；x≠0，V（x）0。3.V（x）沿状态轨迹方向计算的时间导数为半负定，那么平衡状态为在李雅普诺夫意义下稳定，为负定；或者虽然x（t0）≠0来说，除去x＝0外，对x≠0，点平衡状态是渐进稳定的。如果进一步还有当，则系统是大范围渐进稳定。此称渐进稳定判据。是不稳定的。此称不稳定判据。二几个稳定性判据设系统的状态方程为（4-21）平衡状态为此称稳定判据。2()Vx）若为半负定，但对任意初始状态()Vx不恒为零。那么原3()Vx）若为正定，那么平衡状态ex0111xx0ex22120Vxxx()0Vx211222()222Vxxxxxx()0Vx()Vx22()2Vxx212xxx2x()Vx当x1＝0，x2＝0时，；当x1≠0，x2＝0时，稳定的呢？为此，还需要进一步分析当x1≠0，x2＝0时，恒等于零，必然要求x2在tt0时恒等于零；而x2恒等于恒等于零。但从状