不定积分的概念与基本公式教案

江阴职业技术学院《高等数学》课堂教学教案课程名称高等数学教师姓名教研室数理教研室教学对象授课时间2014.11.25星期二第1节教学内容4.1不定积分的概念与基本公式学时数2教材《高等数学》教学目的理解原函数、不定积分的概念理解不定积分的几何意义、物理意义及经济意义并能应用不定积分解决简单问题熟练掌握基本积分公式熟练掌握直接积分法教学内容提要1.原函数的概念2.不定积分的概念3.不定积分的几何意义、物理意义及经济意义4.基本积分公式5直接积分法重点与难点重点：不定积分的概念、基本积分公式、直接积分法难点：不定积分的概念更新补充删节内容教学组织与设计一、新课引入二、新课讲授三、举例应用四、课堂练习五、课堂小结六、布置作业作业习题4主任意见教学实施情况小结§5．1不定积分的概念与基本公式（第一节课）引入：教师：请一位同学走到教室门口，然后再倒退着走回来。教师问：倒过来走是什么感觉，有没有体会到和正常走路不一样？学生答：不一样。教师：相对于正着走，倒过来走是一种逆向过程，就如同数学里：加与减，乘与除互为逆运算一样。那么和我们前面学过的求导数相对的又是什么呢？这就是我们今天要学习的“不定积分”。要学习“不定积分”，需要一点刚才那样“倒着走”的逆向思维。教师：正因为倒着走不习惯，因此我们先要通过练习来加以巩固，慢慢地寻找感觉。已知导函数要求在括号里填写被求导之前原来的函数。(1)0(9)x2csc(2))1(axa(10)xxtansec(3)x1(11)xxcotcsc(4)xa(12)211x(5)xe(13)211x(6)xsin(14)211x(7)xcos(15)211x(8)x2sec被求导之前原来的函数我们给它一个简称：原函数。一、原函数的概念1、定义：若在某区间，)()(xfxF，则)(xF称)(xf的一个原函数。如：331x是2x的一个原函数问：原函数加上一个常数还是原函数吗？答：1313x，2313x，……，Cx331等也是2x的原函数。2、一般地，若)(xf有一个原函数)(xF，则有无数个原函数CxF)(。问：CxF)(是否能表示)(xf的全部原函数？答：能，证明如下设)(xG为)(xf的任一原函数即0)()()()(])()([xfxfxFxGxFxG故CxFxG)()(3、定理：若)(xf有一个原函数)(xF，则CxF)(表示)(xf的所有原函数。这)(xf的所有原函数CxF)(，我们给它一个名称：不定积分。二、不定积分的概念1．定义：若在某区间)()(xfxF，则CxF)(称为)(xf的不定积分，记作dxxf)(，即CxFdxxf)()(。其中——积分号（写法是拉长的S），)(xf——被积函数，dxxf)(——被积表达式，x——积分变量，C——积分常数。注1：积分常数C不可丢，否则只得到一个原函数，而不定积分表示一个函数的所有原函数。注2：检验积分做得对不对，只需要看原函数的导数是否等于被积函数。例1．(1)Cxdxx3231(2)Cxdxsincos(3)Cedxexx(4)Cxdxxarctan112例2.验证积分(1)Cxxdx2sin2sin(2)Cxxdx2cos2sin2．不定积分与导数、微分的关系(1))(])([xfdxxf，dxxfdxxfd)()((2)Cxfdxxf)()(，Cxfxxdf)()(这说明求不定积分与求导、求不定积分与求微分是互为逆运算（除了相差一个积分常数外）例3求(1)dxex)(2(2)xdxxdxdsin2(1)Cedxexx22)((2)xxxdxxdxdsinsin22什么样的函数一定有不定积分？3．不定积分存在的充分条件：连续函数一定有不定积分。自问：除了连续函数，还有其他函数会有不定积分吗？自答：其他函数也可能会有不定积分。三、不定积分的几何意义、物理意义及经济意义1、几何意义：dxxf)(的图形是一族积分曲线CxFy)(，在横坐标相同的点它们的切线彼此平行。例4已知某曲线上任一点),(yx处切线的斜率为23x，(1)求该曲线方程;(2)若此曲线过)4,1(，求该曲线方程。解：(1)设曲线方程为)(xfy，则Cxdxxxf323)(，该曲线方程为Cxy3。（2）由4)1(f，得3C，所以该曲线方程为33xy。2、物理意义：若变速直线运动物体速度)(tv，则运动方程dttvts)()(。例5某物体从静止开始作自由落体运动，其速度为gttv)(，求运动方程)(ts。解：Cgtgtdtts221)(，把0)0(s代入得0C，所以221)(gtts。3、经济意义：边际成本的积分是成本dqqCqC)()(，边际收益的积分是收益dqqRqR)()(，边际利润的积分是利润dqqLqL)()(。例6某工厂生产某产品的固定成本是1000元，边际成本是24)(qqC元，求成本。解：kqqdqqqC242124)(2，由1000)0(C知1000k所以10002421)(2qqqC四、基本积分公式对照求导公式，边问边答边写：1．Cdx02．Cxdxx113．Cxdxxln14．Caadxaxxln5．Cedxexx6．Cxxdxcossin7．Cxxdxsincos8．Cxxdxtansec29．Cxxdxcotcsc210．Cxxdxxsectansec11．Cxxdxxcsccotcsc12．212arccosarcsin11CxCxdxx13．212cotarctan11CxarcCxdxx课堂小结1.原函数的概念（被求导之前原来的函数、不唯一、+C表示全部原函数）2.不定积分的概念（所有原函数、与求导互为逆运算、怎么验证）3.不定积分的几何意义、物理意义及经济意义（是不定积分运用的落脚点）4.基本积分公式（利用导数公式逆推，熟练掌握）布置作业习题4P8612直接积分法（第二节课）一、复习回顾1、定义()fxdx————)(xf的全体原函数所具有的一般形式()()FxfxCxFdxxf)()(2、基本公式（）3、运算性质⑴dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([⑵dxxfkdxxkf)()(二、新课讲授直接积分法——利用变形凑成公式形状的积分例1、21(sin35)cosxxxexdxx解：原式=21sin35cosxxxdxedxdxxdxdxx=215cos3tan2ln5xxxexxC积分运算的性质只有关于函数的加减法的积分，如果遇到函数间的乘除法的积分该如何处理？例2、11()()xxdxxx解：原式5221121(1)25xxdxxxxCxxx例3、3xxedx解：原式=(3)3(3)ln(3)ln31xxxxeeedxCCe【贴士】同底的幂、同指数的幂可用指数的性质加以合并，进而化为加减形式例4、dxxx241解：原式43222111[1]arctan113xxdxxdxxxCxx例5、221(1)dxxx（可略讲）解：原式=2222221111arctan(1)1xxdxdxdxxCxxxxx【贴士】“211xxn”形可以通过加减常数、通分的逆运算等办法化为211x与nx的和差形式积分公式中有许多三角函数形式，碰到三角函数形式的积分运算常常会用到高中所学的三角恒等关系例6、求dxxxxsincos2cos解：原式=Cxxdxxxdxxxxxcossin)sin(cossincossincos22例7、求2cos2xdx解：原式Cxxdxx)sin(21)cos1(21【贴士】常用恒等公式：xxx22sincos2cos2cos12sin2xx2cos12cos2xx例8、求sec(sectan)xxxdx解：原式=2(secsectan)tansecxxxdxxxC例9、求xdx2tan解：原式Cxxdxxtan)1(sec2【贴士】常用恒等公式：xx22tan1secxx22cot1csc练习巩固：计算下列积分①dxxxxex)111cos2(2②dxxx32③dxxxx④dxxx221⑤dxxxx)2cos2(sin2sin课堂小结：由这一节得到的求不定积分的最基本方法――直接积分法⑴运用不定积分概念求积分需熟悉基本导数公式；⑵运用基本积分公式求积分，要熟悉基本积分公式。⑶求不定积分更多时候要作变形（注意参看以上常见做法）作业布置：P86:3.②除外