第四章稳定性与李雅普诺夫方法

现代控制理论预览建模分析设计状态空间表达式建立求解转换能控性能观性稳定性状态反馈状态观测器最优控制4.1李雅普诺夫关于稳定性的定义稳定性是系统性能研究的首要问题！控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。扰动消失后，偏差逐渐变小，能恢复到原来的平衡状态，则稳定。偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定。系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性。经典控制理论对稳定性分析的局限性（1）局限于描述线性定常系统（2）局限于研究系统的外部稳定性经典控制理论的稳定性判据劳斯（Routh）判据奈氏（Nyquist）判据现代控制理论对稳定性分析的特点（1）稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统；（2）研究系统的外部稳定性和内部稳定性；现代控制理论的稳定性判据李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论（3）能够反映系统稳定的本质特征。一、系统状态的运动及平衡状态设系统方程为：),(txfx不受外力n维状态向量n维向量函数展开式为：nitxxxfxnii,,2,1),,,,(21方程的解为：),;(00ttxx初始状态向量初始时刻0000),;(xxxtt平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化),(txfx所有状态的变化速度为零，即是静止状态线性定常系统：0),(teexfxAxx平衡状态：0eeAxx00exA0A一个平衡状态——状态空间原点无穷多个平衡状态例：机械位移系统选ssxx21x平衡状态状态方程21221xmxmkxxx00ex1x2xex)(),(tstsskssm平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化),(txfx所有状态的变化速度为零，即是静止状态非线性系统：0),(teexfx平衡状态：多个平衡状态),(txfx0),(teexfx3221211xxxxxx例：0032211xxxx10,10,00321eeexxx例：分析单摆的平衡状态。解：0sinMgMLLM选取：21,xx状态方程：1221sinxLgxxx平衡状态：0x0sin012xLgx0sin012eexx)2,1,0(0nnex例：分析单摆的平衡状态。解：0sinMgMLLM选取：21,xx状态方程：1221sinxLgxxx平衡状态：)2,1,0(0nnex1x2xexexexexex平衡状态的稳定性：系统在平衡状态邻域的局部的（小范围的）动态行为。线性系统：只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。非线性系统：有多个平衡状态，且可能稳定性不同，需将每个平衡点分别讨论。22221nxxxx欧式范数二、稳定性的几个定义表示向量的长度x2222211)()()(neneeexxxxxxxx表示向量到的距离xex2ncxxxxeee222211)()(xx3ncxxxxxxeeee233222211)()()(xx表示状态空间中，以为圆心，半径为c的圆ex表示状态空间中，以为球心，半径为c的球ex22221nxxxx欧式范数表示向量的长度x2222211)()()(neneeexxxxxxxx表示向量到的距离xex当范数限制在某一范围之内时，可以表示为。且具有明确的几何意义。用此概念来分析系统的稳定性。exxexx00ttexx设系统初始状态位于以平衡状态为球心，为半径的闭球域内，即)(Sex000,),;(ttttexxx若能使系统方程的解在的过程中，始终位于以为球心，任意规定的半径为的闭球域内，即tex)(S则称系统的平衡状态在李雅普诺夫意义下稳定。ex稳定1、李雅普诺夫意义下稳定几何意义：初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点的距离可以维持在一个确定的数值内，而到达不了平衡点。任给一个球域，若存在一个球域，使得当时，从出发的轨迹不离开，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。)(St)(S)(S)(S1x2xex)(S)(S几何意义：任给一个球域，若存在一个球域，使得当时，从出发的轨迹不离开，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。)(St)(S)(S)(S1x2xex)(S)(S若与初始时刻无关，则称系统的平衡状态是一致稳定的。ex0t时变系统与有关0t定常系统与无关0t1x2xex)(S)(S与经典控制理论中稳定性的定义不同。当系统做不衰减的震荡运动时，将描绘出一条封闭曲线，只要不超出，则认为是稳定的。)(S设系统初始状态位于以平衡状态为球心，为半径的闭球域内，即)(Sex00ttexx0),;(lim00etttxxx则称系统的平衡状态是渐近稳定的。ex若系统方程的平衡状态不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有ex2、渐近稳定若与初始时刻无关，则称系统的平衡状态是一致渐近稳定的。ex0t几何意义：初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点的距离可以无限接近，直至到达平衡点后停止运动。1x2xex)(S)(S当时，从出发的轨迹不仅不超出，而且最终收敛于，则称系统的平衡状态是渐近稳定的。)(S)(Stex与经典控制理论中稳定性的定义相同。初始状态在整个状态空间时，平衡状态都渐近稳定。当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。3、大范围渐近稳定几何意义：当时，从状态空间任意一点出发的轨迹都收敛于。tex线性系统稳定性与初始条件无关，如果渐近稳定，则必然大范围渐近稳定。非线性系统稳定性与初始条件密切相关，如果渐近稳定，不一定大范围渐近稳定。例：机械位移系统)(),(tstsmk初始状态有界，随时间推移，状态向量距平衡点越来越远。如果对于某个实数和任一个实数，不管这两个实数有多小，在内总存在着一个状态，由这一状态出发的轨迹超出，则称此平衡状态是不稳定的。4、不稳定几何意义：0)(S)(S00x1x2xex)(S)(S4.2李雅普诺夫第一法（间接法）外部稳定性零初始条件下，对于任意一个有界输入，若系统所产生的相应输出也是有界的，称该系统是外部稳定的。外部稳定的充要条件：传递函数矩阵中所有元素的极点全部位于s的左半平面。AIBAICBAICWssss*1)()()()()()(tttttCxyBuAxx线性定常系统0,ttAxx渐近稳定A的所有特征值：0)Re(k李雅普诺夫意义下稳定A的所有特征值：且的特征值无重根0)Re(k0)Re(k不稳定A有一个特征值：或的特征值有重根0)Re(k0)Re(k内部稳定性与经典控制理论中的稳定性一致21)()()1(1sssWbAIctetcssCsUttu2)(21)(1)()()(渐近稳定21)()()1(1sssWbAIctetcssCsUttu2)(21)(1)()()(不稳定传函极点即A的特征值21)()()3(1ssssWbAIctetcsssssC22121)(1/2-1/221)(与经典控制理论中的稳定性一致李雅普诺夫意义下稳定21)()()4(21ssssWbAIctettcs/s/-ssssC222414121)(241411/221)(不稳定例：设系统方程为：试确定其外部稳定性、内部稳定性。xxx10,121160yu[解]（1）系统的传递函数为：)3(1)3)(2()2(12116101ssssss极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。BAICW1)(ss（2）求系统的特征方程：0)3)(2(116)det(AI3221，求得：系统不是渐近稳定的。4.3李雅普诺夫第二法（直接法）不必求解微分方程，直接判断系统稳定性。系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早会达到平衡状态，即系统渐近稳定。反之，系统则不稳定。若能量在运动过程中不增不减，则称为李雅普诺夫意义下的稳定。例：机械位移系统选ssxx21x状态方程21221xmxmkxxx021xxx)(),(tstsskssm系统能量)(xV22212121mxkx021xxx0)(xV0)(xV例：机械位移系统选ssx21221xmxmkxxx)(),(tstsskssm系统能量)(xV22212121mxkx00ex能量随时间变化率0)(xV2211xmxxkx)(21221xmxmkmxxkx22x02x)(xV能量不断衰减0)(xV0021xxx0)(xV运动会停止吗？0)(xV例：机械位移系统ssx21221xmxmkxxx)(),(tstsskssm系统能量)(xV22212121mxkx00ex能量随时间变化率0)(xV2211xmxxkx)(21221xmxmkmxxkx22x02x)(xV能量不断衰减0)(xV0021xxxex渐近稳定！李雅普诺夫第二法的基本思想),(tVx求出系统的能量函数（李雅普诺夫函数）——标量函数。求出能量随时间变化率。),(tVx依据系统的状态方程考察能量函数在运动过程中的变换规律。利用和的符号特征，判断平衡状态稳定性。),(tVx),(tVx一、标量函数定号性),(tVx在零平衡状态的邻域内0ex0)(,00)(,0,1xxxxVV)(xV正定0)(,00)(,0,2xxxxVV)(xV负定一、标量函数定号性),(tVx在零平衡状态的邻域内0ex0)(,00)(,0,3xxxxVV)(xV正半定0)(,00)(,0,4xxxxVV)(xV负半定0)(0)(0)(,0,5xxxxVVV)(xV不定例：已知，确定标量函数的定号性。Txxx321x2322412)((1)xxxVxTxxx321x解：0)(,00)(,0xxxxVV)(xV正定2321)((2)xxVx解：0)(,0xxV)(xV正半定0)(,0,0,0321xVxxx0)(xV其余0)(,00)(,0xxxxVV232121)2()((3)xxxxVx解：)(xV2322212)((4)xxxVx解：0)(,0xxV0)(,02,0231xVxxx0)(xV其余0)(,00)(,0xxxxVV负半定0)(20)(2232221232221xxVxxxVxxx不定)(xV二、二次型定号性PxxxTtV),(二次型：各项均为自变量的二次单项式的标量函数nnnnnnnnTxxxpppppppppxxxV