第四章稳定性与李雅普诺夫方法20111103

第四章稳定性与李雅普诺夫方法4-1李亚普诺夫关于稳定性定义4-2李亚普诺夫第一法4-3李亚普诺夫第二法4-4李亚普诺夫方法在线性系统中的应用4-5李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用4-6基于Matlab李雅普诺夫稳定性分析简介●稳定性是控制系统的一个极为重要的特性：任何系统要能正常工作首先必须是稳定的。●控制系统分析与设计首先要考虑的问题：如何判别一个系统是否稳定；如何改善系统的稳定性(提高系统稳定性性能指标)；如何通过系统综合（校正）方法使一个不稳定系统变成稳定系统。●系统稳定性：表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身仍然能恢复到原来平衡状态的一种“顽性”。这里指的可能是一个平衡点，也可能不是一个平衡点。●经典控制理论中对控制系统稳定性判据劳斯判据、胡维茨判据、奈奎斯特稳定性判据等。对于非线性系统和时变系统，经典控制理论的这些判据方法就不适用用了。李亚普诺夫第一法(间接法)通过求解系统解微分方程，然后根据解的性质来判断系统稳定性。李亚普诺夫第二法（直接法）特点是不解系统微分方程，而是通过一个叫李亚普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性，此方法可用于线性系统，也可用于非线性系统，可用于定常系统，也可用于时变系统。特别试用于那些难于求解微分方程的非线性系统和时变系统。该方法是本章论述的重点。4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义线性系统的稳定性只与系统本身的结构和参数有关，但对于非线性系统，其稳定性还与系统的初始条件与外界扰动的大小有关，李雅普诺夫给出了一种具有一般意义的稳定性的概念。4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义+xe·X0)(S)(S4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义+xe·X0)(S)(S4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义+xe·X0)(S)(S4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义4-1李雅普诺夫关于稳定性的定义基本思路：通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，只需要解出特征方程的根就可以作出稳定性判断。对于非线性不很严重的系统，则可通过一次线性化处理得出线性化方程，然后根据其特征根来判断系统的稳定性。4-2李雅普诺夫第一法(间接法)线性系统的稳定性判据：（以线性定常系统为例CxyBuAxxCBA=+==&),,4-2李雅普诺夫第一法(间接法)非线性系统的稳定性判据：4-2李雅普诺夫第一法(间接法)非线性系统的稳定性判据：4-2李雅普诺夫第一法(间接法)非线性系统的稳定性判据：4-2李雅普诺夫第一法(间接法)非线性系统的稳定性判据：4-2李雅普诺夫第一法(间接法)非线性系统的稳定性判据：4-2李雅普诺夫第一法(间接法)4-3李雅普诺夫第二法一、李雅普诺夫第二法(直接法)的基本思路►从能量的观点来进行系统稳定性分析。如果一个系统被激励后，其存储的能量随着时间的推移逐渐衰减，达到平衡状态时，能量将达到最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的；反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的；如果系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。以小球在凹形曲面(包括曲面有无摩擦)情况举例说明。►基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李亚普诺夫函数来判断系统的稳定性，对运动方程难于求解的系统，如非线性系统、时变系统，分析其稳定性带来了极大的方便；除了对系统稳定性分析外，还可用于对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题，在现代控制理论的许多方面都有广泛的应用。但是构成李亚普诺夫函数目前还没有一个通用的方法，其构成需要经验和技巧。一、李雅普诺夫第二法(直接法)的基本思路一、李雅普诺夫第二法(直接法)的基本思路►由于系统的复杂性和多样性，一般不容易到一个能量数来描述系统的能量关系；►李亚普诺夫定义一个正定的标量函数，作为虚构的广义能量函数，根据的符号特征来判断系统的稳定性；►李亚普诺夫函数：对于一个正定的标量函数，是负定的，则这个系统是稳定的。这个叫做李亚普诺夫函数；)(xVdtdVV/)()(xx=)(xV)(xV)(xV一、李雅普诺夫第二法(直接法)的基本思路►问题是如何找到李亚普诺夫函数，目前还没有一个通用的方法。►对于一个给定的系统，李亚普诺夫函数不是唯一的。二、相关预备知识—标量函数的符号性质二、相关预备知识—标量函数的符号性质三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据－三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据三、几种稳定性判据四、对李亚普诺夫函数的讨论五、相关预备知识—二次型标量函数二次型函数在李亚普诺夫第二法分析系统中起着很重要的作用。五、相关预备知识—二次型标量函数五、相关预备知识—二次型标量函数五、相关预备知识—二次型标量函数五、相关预备知识—二次型标量函数五、相关预备知识—二次型标量函数例：证明下面的二次型是正定的:313221232221321422410),,(xxxxxxxxxxxxV+++=运用Sylvester准则:解:二次型可改写为:),,(321xxxV==3213213211121412110),,(xxxxxxPXXxxxVT0171121412110;03941110;010==是正定的.),,(321xxxV五、相关预备知识—二次型标量函数4.4李亚普诺夫方法在线性系统中的应用线性系统的稳定性具有全局性，而且稳定判据的条件是充分必要的。线性系统的稳定性分析包括线性定常连续系统稳定性分析、线性常定离散系统的稳定性分析、线性时变连续系统的稳定性分析以及线性时变离散系统的稳定性分析。4.4李亚普诺夫方法在线性系统中的应用4.4李亚普诺夫方法在线性系统中的应用4.4李亚普诺夫方法在线性系统中的应用4.4李亚普诺夫方法在线性系统中的应用4.5李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用非线性系统的稳定一般具有局部性：不是大范围渐近稳定的平衡状态，却可能是局部渐近稳定的；非线性系统的稳定性不仅与系统的结构有关，而且与系统的初始状态、外作用及其大小有关。用李亚普诺夫第二法对非线性系统稳定性进行分析，只能够给出判断非线性系统渐近稳定的充分条件，而不是必要条件。4.5李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用1、雅可比(Jacobian)矩阵法注意：此方法给出的是系统充分条件，不是必要条件；推论到线性定常系统中判据也是充分条件，而不是必要条件。定义和应用举例：自学，理解概念，看懂例题。证明：一般了解2、变量梯度法自学,理解概念，看懂例题，对p.183-p.185例题4-13中稳定性判断过程中参数不同选择所判断的稳定区域结合图4.9做说明。4.6基于Matlab李雅普诺夫稳定性分析简介