同济大学高等数学教案第一章函数、极限与连续

1高等数学教学教案第一章函数、连续与极限授课序号01教学基本指标教学课题第一章第一节集合与函数课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分段函数，三角函数性质与公式教学难点分段函数图形参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解函数的概念及性质；理解复合函数和反函数的概念。熟悉基本初等函数的性质及其图形。会建立简单实际问题中的函数关系式。教学基本内容一、基本概念：1、在本书中，我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作.由整数的全体构成的集合称为整数集，记为.用Q表示全体有理数构成的有理数集，R表示全体实数构成的实数集.显然有ZQR.2、集合的基本运算有四种：并、交、差、补.特别地，若我们所讨论问题在某个集合（称为基本集或全集，一般记为U）中进行，集合A是U的子集，此时称\UA为A的余集（或补集），记作UCA或CA.3、设,AB是两个非空的集合，则由有序数对,xy组成的集合{(,)|,}ABxyxAyB2称为A与B的直积.4、设a和b都是实数，且ab，数集xaxb称为开区间，记作,ab，即,abxaxb.a和b称为开区间,ab的端点，其中a为左端点，b为右端点，且,aab，,bab.数集xaxb称为闭区间，记作,ab，即,abxaxb.a和b也称为闭区间,ab的端点，且,aab，,bab.5、邻域设a与为两个实数，且0，数集xxa称为点a的邻域，记作,Ua，即,Uaxxa，其中a称作,Ua的中心，称作,Ua的半径.6、基本初等函数中学时我们已经学习过的许多函数，比如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，它们统称为基本初等函数.我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数.二、定理与性质：性质1（对偶性质）设U是一个基本集，,AB是它的两个子集，则（1）CCCABAB；（2）CCCABAB.三、主要例题：例1函数yC，其中C为某确定的常数.它的定义域为,D，值域为WC，它的图形是一条平行于x轴的直线，这个函数称为常数函数.例2函数,0,0xxyxxx的定义域为,D，值域0,W，这个函数称为绝对值函数.3例3函数1,0sgn0,01,0xyxxx的定义域为,D，值域1,0,1W，这个函数称为符号函数.例4设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作x，函数yx的定义域为,D，值域为整数集Z，它的图形在x的整数值处，图形出现跳跃，而跃度为1，这个函数称为取整函数.例5函数3,1,1,1xxfxxx就是一个分段函数，它的定义域,D.当,1x时，对应的函数值1fxx；当1,x时，对应的函数值3fxx.例6设1()2,()0,11xfxgxxxx，，求[()],[()]fgxgfx和[()]ffx.例7求函数2ln(3)yx的定义域.例8设()fx的定义域是(0,1)，求(sin)fx的定义域.4授课序号02教学基本指标教学课题第一章第二节数列的极限定义与计算课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点极限运算性质教学难点极限定义参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解极限的概念(对极限的-N、定义不作高要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。教学基本内容一、基本概念：1、数列极限.定义设nx为一数列，如果存在着一个常数aR，对于任意给定的正数，总存在着一个正整数N，使得对于nN时的一切n，不等式nxa均成立，则称常数a是数列nx的极限，或者称数列nx收敛于a，记作limnnxa，或()nxan.此时也称数列nx为收敛数列，不收敛的数列称为发散数列,习惯上也称limnnx不存在.二、定理与性质：定理1（数列极限的运算法则）若limnnxa，limnnyb，则（1）limlimlimnnnnnnnxyxyab；（加减法则）（2）limlimlimnnnnnnnxyxyab；（乘法法则）（3）limlim(0,0)nnnnnxxaxa；（交换法则）（4）limlimlim0limnnnnnnnnnxxaybyyb.（除法法则）三、主要例题：例1已知1nxn，证明lim0nnx5例2已知数列12nnx，证明lim0nnx.例3求下列函数的极限：（1）2247lim3nnn;（2）2123...limnnn;（3）1limnnn;（4）1111lim...122334(1)nnn;(5)lim1nnn;（6）21111lim1...333nn.6授课序号03教学基本指标教学课题第一章第三节函数的极限定义和计算课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点极限运算性质，极限与左右极限关系教学难点极限定义参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解极限的概念(对极限的-X，-定义不作高要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。教学基本内容一、基本概念：1、自变量趋于无穷大时的极限定义1设函数fx当x大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数X，使得当x满足不等式xX时，对应的函数值fx都满足不等式fxA，则A就叫做函数fx当x时的极限，记作limxfxA，或()fxAx.定义1也可简述为0，0X，当xX时，恒有fxA，则limxfxA.2、自变量趋于有限值时的极限定义2设函数fx在点0x的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式00xx时，对应的函数值fx都满足不等式fxA，则称A为函数fx在0xx时函数的极限，记作0limxxfxA或0()fxAxx.定义2也可简述为：如果0，0，当00xx时，恒有fxA，那么0limxxfxA.7二、定理与性质：定理1limlimxxfxAfxA且limxfxA.定理2（极限的四则运算法则）设0limxxfxA，0limxxgxB，则（1）000limlimlimxxxxxxfxgxABfxgx;（2）000limlimlimxxxxxxfxgxABfxgx;(3)000limlim(0)limxxxxxxfxfxABgxBgx.推论若0limxxfx，0limxxgx存在，则（1）000limlimlimxxxxxxfxgxfxgx；（2）00limlim()nnxxxxfxfxnZ；（3）若0fx，则00limlimxxxxfxfx.上述极限中将“0xx”改为“x”，结论仍然成立.（证明过程有所差别）定理3（复合函数的极限运算法则）设函数yfgx是由函数ugx与yfu复合而成的，fgx在点0x的去心邻域内有定义，若00limxxgxu，0limuufuA，且存在00，当00,oxUx时，有0gxu，则00limlimxxuufgxfuA.三、主要例题：例1证明sinlim0xxx.例2证明00limxxxx.例3证明当1a时，0lim1xxa.例4证明000lim0xxxxx.例5求321lim221xxxx.8例6计算321(1)(1)lim.(1)xxxx例7求极限0limln1xx.例8求极限20lim42xx.例9求极限211lim2(1)xxx.例14(1)求极限220lim42xxx;(2)求极限2lim42xxx.例15已知2lim(5)2xxaxbxc,求ba,之值.9授课序号04教学基本指标教学课题第一章第四节极限的证明与性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点极限的性质教学难点用定义证明极限参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求了解极限的性质教学基本内容一、基本概念：二、定理与性质：定理1（极限的唯一性）数列nx不能收敛于两个不同的极限.定理2（收敛数列的有界性）如果数列nx收敛，则该数列一定有界.定理3（收敛级数的保号性）如果()nxan且0a（或0a），则存在0N，当nN时，均有0nx（或0nx）.推论如果nx满足：10N，当1nN时，0nx（或0nx），且limnnxa，则0a（或0a）.定理4如果数列nx收敛于a，则它的子数列knx也收敛于a.定理5（函数极限的唯一性）如果0limxxfx存在，那么这极限唯一.定理6（函数极限的局部有界性）如果0limxxfx存在，那么存在常数0M和00X，使得当00xx（或xX）时，有fxM.定理7（函数极限的局部保号性）如果0limxxfxA，且0A（或0A）,那么存在0，使得当00xx时，有0fx（或0fx）.推论1如果0limxxfxA（0A），那么存在0，使得当00xx时，有102Afx.同时我们也有下述结论：推论2如果函数fx满足：存在0，使得当00xx时，0fx（或0fx），且0limxxfxA，那么必有0A（或0A）.定理8（函数极限与数列极限的关系）若0limxxfx存在，nx为fx的定义域内的任一收敛于0x的数列，且0nxxnN，则nfx收敛，且0limlimnnxxfxfx.三、主要例题：例1已知11nnnxn，证明数列nx的极限为1.例2证明221lim212xxx.例3证明1lim413xx.例4证明函数1sinfxx当0x时极限不存在.11授课序号05教学基本指标教学课题第一章第五节两个重要极限课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点两个重要极限的计算教学难点两个准则参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，掌握运用两个重要极限求极限的方法。教学基本内容一、基本概念：1、单调数列如果数列nx满足条件121nnxxxx，则称数列nx是单调增加的；如果数列nx满足条件121nnxxxx，则称数列nx是单调减少的