李雅普诺夫稳定性分析方法

自动控制原理Ⅱ第五章李雅普诺夫稳定性分析方法1.1892年A.m.Lyapunov发表的《运动稳定性的一般问题》提出了稳定性的一般概念和方法.2.Lyapunov方法可适用于线性系统,非线性系统,时变或非时变系统,连续时间系统或离散时间系统.3.本节研究的内容是基于常微分方程描述的动力学系统,并分为两种分析方法.（1）Lyapunov第一方法:•也称间接法,属于小范围稳定性分析方法。•基本思路是:将非线性自治系统运动方程在足够小的邻域内进行泰勒展开导出一次近似线性系统.再根据线性系统特征值在复平面上分布,推断非线性系统在邻域内的稳定性.•在Lyapunov第一法中,有一个基础性的问题,即将非线性方程线性化的问题.•实际上其方法的主要数学工具是泰勒展开式,即对函数f(x)在邻域内展开后•仅取线性项,忽略高阶次项0x2()000000011()()()()()()()()2!!nnfxfxfxxxfxxxfxxxn000()()()()fxfxfxxx•称上式为f(x)非线性函数在邻域内的线性函数表达.•故而必须要足够小,其变化应在的小邻域内进行,即运动是非常小的,因为运动亦可称为一种扰动,因此上述方法常称为小扰动线性化.0x0xx0xxx0x例子:一个系统的描述输入输出的模型为其中x:输入,y:输出.设是平衡点,即满足2sinyaybyxx00,xy200000sinyaybyxx•由于均为常数,则从而有•令则方程左边是00,xy000yy2000sinbyxx00,xxxyyy0yaybyby•将方程右边在点处,用泰勒展开,并取到一次项,忽略高次项,故有•从而有0x220000sin2sincosxxxxxxxx200000sin(2cos)yaybybyxxxxx•显然代入后,得到•两边进行拉氏变换得(初始状态),则2000sinbyxx00(2cos)yaybyxxx00y200()()(2cos)()sasbysxxxs•则有•故线性模型G(s)描述了非线性方程在处和的运动特性,而Laypunov第一方法,则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动范围内运动稳定性.0022cos()()()xxysGsxssasb0xxy（2）李雅普诺夫第二方法•也称直接法,属于直接根据系统结构判断内部稳定性的方法.•该方法直接面对非线性系统,基于引入具有广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏函数的定量性,建立判断稳定性的相应结论.•因此直接法也是一般性方法----Lyapunov第二法更具有一般性.（3）用李氏方法分析的必要性•以一个例子说明:用特征值来判断线性时变系统一般稳定性是会失效的.•其中特征值为-1,-1.2101texx•但由于其解为•当时,若则必有•故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现是不收敛和发散的.从而采用特征值判断失效.()/2()(0)0tttteeextxe(0)0xtx一.系统运动稳定性的性质.•运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的稳定性.•平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临域内,或者使之同时返回平衡状态.•从而要讨论三个重要概念:1.自治系统.2.平衡状态.3.受扰运动.1.自治系统•定义地:自治系统定义为不受外部影响即没有输入作用的一类系统.•一般情形的系统描述:•线性时变系统的描述:•线性时不变的描述:000(,),(),[,]xfxtxtxtt000(),(),,xAtxxtxtt000,(),[,)xAxxtxtt2.平衡状态•定义:对连续时间非线性时变系统,自治系统的平衡状态定义为状态空间满足属性的一个状态.(,)xfxt0(,)0,[,)eexfxttt下面对平衡状态的说明:(1).平衡状态的直观含义,平衡状态直观上为系统处于平衡时可能具有一类状态,系统平衡的基本特征.(2).平衡状态的形式.平衡状态可由方程定出,对二维自治系统,的形式包括状态空间中的点和线段.ex0exexex(3).不唯一性.平衡状态一般不唯一.对定常线性系统而言,平衡状态为方程的解.•若矩阵A非奇,则有唯一解•若矩阵A奇异,则解不唯一.exex0eAx0exex(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换为状态空间的原点.(5).对平衡状态的约定：Lyapunov第二法中,对稳定性的分析主要针对孤立平衡状态,从而在研究中可把平衡状态设为空间原点.3.受扰运动.•定义:受扰运动定义为其自治系统由初始扰动引起的一类状态运动.•也就是零输入响应,在稳定性分析中,可将非零初始状态看成为相对于零平衡状态的一个状态扰动.0x0x0ex二.Lyapunov意义下的稳定性(实际上只刻划稳定性或描述)•自治系统受扰后,其状态自平衡状态发生偏离,随后在所有时间内系统的响应可能出现下列情况.(1)系统响应是有界的(2)系统响应不但有界,而且最终回到原先的初始状态.(3)系统自由响应无界.1.预备知识.•设代表系统的平衡状态,用下式表示在平衡状态周围半径为k的球域：.式中称为欧氏范数,它代表向量的长度.exexexxkexxexx•因此:•A.对应于系统的初始条件可以划出一个球域S(δ)它的范数为其中为初始时刻时的状态变量.•B.球域S(ε),它能将的解的所有点都包围在内,其范数为0exx0x0t(,)xfxt00(;,)xtxt000(;,)()extxtxtt2.现对李雅普诺夫意义下的稳定性用上述方法进行定义•实际上也是对平衡状态稳定性的定义.•定义:如果对任意给定的ε0,都对应存在另一依赖于ε和的实数,使得满足不等式:的任一初始状态出发的受扰运动都满足不等式•则称自治系统的孤立平衡状态在时刻为李雅普诺夫意义下稳定.0t0(,)exxt0x00(:,)xtxt000(;,)extxtxtt000(,)(),[,)xfxtxtxtt0ex0t0,0t3.渐近稳定性•一般来讲,如果受扰运动能回到原来的平衡状态,则称该平衡状态是渐近稳定的.•定义:如果上述自治系统1)平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定,2)存在可任给的实数μ0,能使任一初始时刻出发的受扰运动满足•注意,该定义只能应用于平衡状态不随时间变化的平衡状态.0ex0x000(;,)extxtxtt4.大范围内的渐近稳定.•如果由系统状态的所有初始状态出发,其扰动运动都是渐近稳定的,则这时的平衡状态称为大范围内渐近稳定的.或说的每个解,当时,都收敛于,显然这样的系统只能有一个平衡状态.(,)xfxttex5.不稳定•如果对于某一实数ε0,不论δ取多么小,由S(δ)内出发的轨迹只要其中有一个轨迹越出S(ε),则称平衡状态为不稳定的.ex三.李雅普诺夫第二方法•Lyapunov第二方法也称直接法.•不但可用于稳定性判别,且可用于系统设计.•该方法基于这样的思想,即一个系统或物体之所以有运动,是因为它具有能量的缘故,如果一个系统在运动过程中,其内部贮存的能量随时间的推移逐渐的衰减,一直到运动平衡状态处,系统所具有的能量变成最小.•所以若能找到一个可以完全描述上述过程的所谓能量函数的话,则系统的稳定性就不难解决了.•但由于实际系统形式是复杂多样的,一般不容易找出具有直观物理意义的能量函数,因此,李雅普诺夫引入了一个广义能量函数,它虽非是系统真正物理意义上的能量函数,但有着能量含义,且在形式上更具有一般性.•Lyapunov函数与有关,用V(x)来表示.•一般情况下V(x)0,表示能量随时间的变化率.•当表明能量在运动中随时间推移而减少.•当表明能量在运动中随时间推移而增加.12,,,nxxx()dvVxdt()0Vx()0Vx1.预备知识1).标量函数V(x)性质意义:令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含原点的封闭有限区域.(1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有V(x)0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称V(x)为正定.(2).如果V(x)除原点以及某些状态等于零外,在域Ω内其余状态处都是正的,则V(x)称为半正定.(3).如果-V(x)是正定的,则V(x)称为负定的.(4).如果-V(x)是半正定的,则V(x)称为半负定的.2).二次型标量函数•称为二次型函数,若则p称为实对称的.()TVxxpxijjipp2.Lyapunov第二方法的几个定理---稳定性判据（书P317)•定理一.设系统的状态方程:(坐标原点为平衡状态)如果上述给定系统存在一个有连续偏导数的标量函数V(x)并满足下列条件：(,),(0,)0xfxtft且1).对所有时V(x)02).对所有时,则平衡点x=0是渐近稳定的.3).除满足1),2)外,如果则x=0是大范围渐近稳定的.0x0x()0Vx,()xVx•定理二前提如定理一.1).对所有时V(x)02).对所有时,但不恒等于零,则x=0是渐近稳定的.3).除满足1),2)外,还满足,有则平衡状态x=0是大范围渐近稳定的.0x0x()0Vxx()Vx•定理三前提如定理一.1).对所有时V(x)02).对所有时,且在某x处恒为零•则x=0为在Lyapunov意义下是稳定的,但非渐近稳定.•实际系统保持在一个稳定的等幅振荡状态上.0x0x()0Vx•定理四前提如定理一.1).时V(x)02).时则x=0平衡状态是不稳定的.0x0x()0Vx•判断方法:1).构造V函数,从的符号按定理判断.2).对则V函数可设为且.给定Q为正定阵(对称阵总是正定的)从中解出p,若p为正定对称阵,则如若p不正定,则重复,直到p正定结束.一般情况下取Q=I.dvVdtxAxTVxpxTAppAQTVxpx