同济大学高等数学教案第四章微分方程

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高等数学教学教案第四章微分方程授课序号01教学基本指标教学课题第四章第一节微分方程的概念课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点微分方程的基本概念教学难点特解,通解参考教材同济版、人大版《高等数学》;同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。教学基本内容一、基本概念:1、微分方程:含有未知函数及其它的导数与自变量之间的关系式称为微分方程(其中自变量、未知函数可以在方程中不出现,但未知函数的导数必须出现).2、微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.一阶微分方程的一般形式为(,,)0Fxyy.二阶微分方程的一般形式为(,,,'')0Fxyyy.n阶微分方程的一般形式是:,0),,,,()(nyyyyxF其中x为自变量,)(xyy是未知函数.在方程中()ny必须出现,而其他变量可以不出现.3、微分方程的解:把函数代入微分方程能使方程称为恒等式,我们称这个函数为该微分方程的解.更确切地说,设函数)(xy在区间I上有n阶连续导数,如果在区间I上,有,0))(,)(),(),(,()(xxxxxFn则称函数)(xy为微分方程(10)在区间I上的解.微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数.一般地,微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解.含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解(一般解).4、微分方程的初值问题:许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解,此时,这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数,这类附加条件称为初始条件,也称为定解条件.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.二、定理与性质:三、主要例题:例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点(,)Mxy处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程例2列车在平直线路上以20/ms(相当于72/kmh)的速度行驶,当制动时列车获得加速度20.4/ms.开始制动后多少时间列车才能停住?列车在这段时间里行驶了多少路程?例3已知放射性物质镭的裂变规律是:裂变速度与余存量成比例.记在某一时刻0tt镭的余存量为0R克,试确定镭在任意时刻t的余存量Rt.例3设一物体的温度为100℃,将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比,设物体的温度T与时间t的函数关系为)(tTT,则可建立起函数)(tT满足的微分方程d(20)dTkTt(1)其中k)0(k为比例常数.这就是物体冷却的数学模型.例4设一质量为m的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落.根据牛顿第二定律:物体所受的力F等于物体的质量m与物体运动的加速度成正比,即mF,若取物体降落的铅垂线为x轴,其正向朝下,物体下落的起点为原点,并设开始下落的时间是0t,物体下落的距离x与时间t的函数关系为)(txx,则可建立起函数)(tx满足的微分方程22ddxgt其中g为重力加速度常数.这就是自由落体运动的数学模型.例5试指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的阶数.2d(1);dyxyx2dd(2)240;ddyyxxxx322dd(3)250;ddyyxxyxx.1ln)cos()4(xyy例6求曲线族122Cyx满足的微分方程,其中C为任意常数.例7验证函数xCxysin)(2(C为任意常数)是方程dcot2sin0dyyxxxx的通解,并求满足初始条件π2|0xy的特解.授课序号02教学基本指标教学课题第四章第二节一阶微分方程课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点可分离方程,一阶线性方程教学难点方程类型判别参考教材同济版、人大版《高等数学》;同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程方程,了解用变量代换求方程的思想。教学基本内容一、基本概念:1、设有一阶微分方程d(,)dyFxyx,如果其右端函数能分解成(,)()()Fxyfxgy,即有d()()dyfxgyx,从而能够写成d()d()yfxxgy(1)的微分方程称为可分离的微分方程.2、如果一阶微分方程d(,)dyfxyx中的函数(,)fxy可化为yx,则称此方程为齐次方程.齐次方程通过变量替换yux转化为可分离变量方程求解.3、形如d()()dyPxyQxx(2)的方程称为一阶线性微分方程.其中函数)(xP,)(xQ是某一区间I上的连续函数.一阶线性方程的当,0)(xQ方程(2)成为d()0dyPxyx(3)这个方程称为一阶齐次线性方程.相应地,方程(2)称为一阶非齐次线性方程.二、定理与性质:定理1(一阶非齐次线性方程的解的结构)一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与一阶非齐次线性方程的一个特解之和.三、主要例题:例1求微分方程d2dyxyx的通解.例2求微分方程2ddddxxyyyxyy的通解.例3求(1e)'exxyy满足0|0xy的特解.例4已知,tan2cos)(sin22xxxf当10x时,求).(xf例5求微分方程(lnln)dd0xxyyyx的通解.例6求解微分方程dtandyyyxxx满足初始条件1π6xy的特解.例7求解微分方程222dd.2xyxxyyyxy例8利用变量代换法求方程2d()dyxyx的通解.例9求方程52d2(1)d1yyxxx的通解.例10求下列微分方程满足所给初始条件的特解.lnd(ln)d0xxyyxx,e1xy.例11求方程32d(21)d0yxxyy的通解.授课序号03教学基本指标教学课题第四章第三节二阶微分方程课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点可降阶微分方程,二阶线性齐次,简单非齐次教学难点二阶线性非齐次参考教材同济版、人大版《高等数学》;同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解二阶线性微分方程解的结构。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。会求自由项形如Pxenx()()、(cossin)xnnePxxQxx的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。教学基本内容一、基本概念:''yfx型,yfxy型,yfyy型2、函数组的线性相关与线性无关设1,2,,iyxin为定义在区间I上的n个函数,如果存在n个不全为零的常数1,2,,ikin,使得11220nnkykyky在区间I上恒成立,则称n个函数iyx1,2,,in在I上线性相关,否则称线性无关,或者说要使11220nnkykyky在区间I上恒成立,则必有01,2,,ikin.4、二阶线性方程二阶线性常系数微分方程的一般形式是22dd()ddyypqyfxxx,(1)其中p、q是常数,)(xf是自变量x的函数,函数)(xf称为方程(1)的自由项.当()0fx时,方程(1)成为22dd0ddyypqyxx.(2)这个方程称为二阶齐次线性微分方程.相应地,方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程.二、定理与性质:定理1如果函数)(1xy与)(2xy是方程(2)的两个解,则)()(2211xyCxyCy(3)也是方程(2)的解,其中21,CC是任意常数定理2如果)(1xy与)(2xy是方程(2)的两个线性无关的特解,)()(2211xyCxyCy就是方程(2)的通解,其中21,CC是任意常数.定理3设y是方程(1)的一个特解,而Y是其对应的齐次方程(2)的通解,则yYy就是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.*定理4设1y与2y分别是方程)()()(1xfyxQyxPy与)()()(2xfyxQyxPy的特解,则21yy是方程)()()()(21xfxfyxQyxPy的特解.二阶齐次线性方程的解:特征方程的根通解中的对应项是k重根r1011()ekrxkCCxCx是k重共轭复根i10111011[()cos()sin]ekkkxkCCxCxxDDxDxx求解二阶线性常系数非齐次微分方程通解的步骤:(1)写出特征方程,并求出特征根;(2)求出对应齐次方程的通解Y;(3)根据与特征根关系确定特解形式并代入原方程后确定其中系数,从而得到y;ekxnyxQx,其中0,1,2k按不是、是单、是重特征根而选取,nQx为n次待定系数的多项式.(4)写成yYy.三、主要例题:例1求方程2ecosxyx满足1)0(,0)0(yy的特解.例2求微分方程21yy的通解.例3求微分方程,2)1(2yxyx,10xy30xy的特解.例4求微分方程22112yyyy的通解.例5求微分方程)(22yyyy满足初始条件,1)0(y2)0(y的特解.例6证明221,cos,sinxx在,内线性相关.例7对于二阶线性微分方程''3'20yyy,验证232123e,e,exxxyyy是它的解,并证明212eexxCC是原方程的通解,而213eexxCC是原方程的解但不是通解.例8已知222123ee,2ee,e2exxxxxxyyy是某二阶齐次线性微分方程的三个特解.(1)求此方程的通解;(2)求此微分方程满足(0)7,(0)5yy的特解.例9已知123,,yyy是二阶变系数线性非齐次微分方程ypxyqxyfx的线性无关的三个特解,试写出该方程的通解.例10求方程032yyy的通解.例11求方程044yyy的通解.例12求方程052yyy的通解.例13求微分方程2dd440ddyyyxx满足初始条件00d|1,|3dxxyyx的特解.例14求方程052)4(yyy的通解.例15求下列微分方程的通解.(1);0235yyy(2).022)4(6yyyy例16已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为1234e,e,cos2,3sin2,xxyyxyxyx求这个四阶微分方程及其通解.例17下列方程具有什么样形式的特解?(1)356e;xyyy(2)2563e;xyyyx(3)22(31)e.xyyyx例18求方程1332xyyy的一个特解.例19求方程232exyyyx的通解.例20求解定解问题0042cos20,2xxyyxyy.授课序号04教学基本指标教学课题第四章第四节微分方程的实际案例课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点一阶二阶实际案例教学难点一阶二阶实际案例参考教材同济版、人大版《高等数学》;同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。教学基本内容一、基本概念:二、定理与性质:三、主要例题:一、一阶微分方程的实际案例例1设一物体的温度为100℃,将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t的变化规律.例2设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时)0(t速度为零,求降落伞下落速度与时间的关系.例3设河边点O的正对岸为点A,河宽hOA,两岸为平行直线,水流速度为a,有一鸭子从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