2018届中考复习：二次函数相关的最值问题练习(含答案)

二次函数相关的最值问题例1.如图，抛物线y＝－x2－4x＋5与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求直线AC的解析式及顶点D的坐标；(2)若Q为抛物线对称轴上一动点，连接QA、QC，求|QA－QC|的最大值及此时点Q的坐标；(3)连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合)，过P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥CD交直线AC于点F，当线段PE＋PF取最大值时，求点P的坐标及线段EF的长；(4)在(3)问的条件下，将P向下平移34个单位得到点H，在抛物线对称轴上找一点L，在y轴上找一点K，连接OL，LK，KH，求线段OL＋LK＋KH的最小值，并求出此时点L的坐标；(5)在(3)问的条件下，将线段PE沿着直线AC的方向平移得到线段P′E′，连接DP′，BE′，求DP′＋P′E′＋E′B取最小值时点E′的坐标．针对训练1．如图，直线y＝kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.(1)求直线y＝kx＋b的解析式；(2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．2．如图①，已知抛物线y＝－33x2＋233x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E.(1)求线段DE的长度；(2)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为线段PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少．3．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？说明理由．4．已知，如图，二次函数y＝ax2＋2ax－3a(a≠0)图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧)，点H，B关于直线l：y＝33x＋3对称．(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数的解析式；(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于点K，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－12x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D.(1)求平行线AD、BC之间的距离；(2)点P为线段BC上方抛物线上的一动点，当△PCB的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到直线BC上点M处，再沿垂直于直线BC的方向运动到直线AD上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．当点Q的运动路径最短时，求点Q经过的最短路径的长．6．如图，抛物线y＝－34x2－94x＋33交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点Q为顶点，点D为点C关于对称轴的对称点．(1)求点D的坐标和tan∠ABC的值；(2)若点P是抛物线上位于点B、D之间的一个动点(不与B、D重合)，在直线BC上有一动点E，在x轴上有一动点F.当四边形ABPD的面积最大时，一动点G从点P出发以每秒1个单位的速度沿P→E→F的路径运动到点F，再沿线段FA以每秒2个单位的速度运动到A点后停止，当点F的坐标是多少时，动点G在运动过程中所用时间最少？二次函数相关的最值问题答案例1.解：(1)∵y＝－x2－4x＋5＝－(x2＋4x)＋5＝－(x＋2)2＋9，∴D(－2，9)．当x＝0时，y＝5，∴C(0，5)．当y＝0时，x1＝1，x2＝－5，∴A(－5，0)，B(1，0)，∴yAC＝x＋5；(2)因为点Q在抛物线对称轴上，由抛物线对称性知QA＝QB，由C(0，5)和B(1，0)可求得yBC＝－5x＋5，根据三角形三边关系可知，当点Q，C，B三点共线时，|QB－QC|最大，即|QA－QC|最大，可求直线yBC＝－5x＋5与抛物线对称轴交点Q为(－2，15)，此时|QA－QC|最大值＝BC＝26.解：(3)过P作PQ∥y轴，交AC于Q，再作FM⊥PQ于M，如图①，直线AC：y＝x＋5，设P(t，－t2－4t＋5)，Q(t，t＋5)，∴PQ＝(－t2－4t＋5)－(t＋5)＝－t2－5t.∵∠PEF＝∠CAO＝45°，∴PE＝PQ＝－t2－5t，∵PF∥CD，∴kCD＝－2＝kPF，∴tan∠MPF＝12，设FM＝n＝MQ，则PM＝2n，PQ＝3n，PF＝5n，即PF＝53PQ，∴PE＋PF＝(3＋5)n＝(1＋53)PQ，∴当PQ最大时，PE＋PF取最大值，而PQ＝－t2－5t＝PE＝－t＋522＋254，当t＝－52时，PE＋PF取最大值，此时P－52，354，EF＝2PM＝2526.(4)如图②：在(3)问的条件下，P－52，354，∴H－52，8，作H关于y轴的对称点H1，作O关于抛物线对称轴对称点O1，所以O1(－4，0)，H152，8，连接O1H1，则O1H1长即为OL＋LK＋KH的最小值，直线O1H1：y＝1613x＋6413，∴直线O1H1与抛物线对称轴交点即为L点的位置，此时L－2，3213，OL＋LK＋KH的最小值＝O1H1＝5217；(5)在(3)问的条件下，P′E′＝PE＝254，在线段PE平移过程中，PE即P′E′长度不变，将DP′沿P′E′向右平移PE的长即254个单位，得到D′E′，如图③，则四边形D′DP′E′为平行四边形，故DP′＝D′E′，要使得DP′＋P′E′＋E′B最小，即DP′＋E′B最小，即要使D′E′＋E′B最小，当D′，E′，B三点共线时，D′E′＋E′B最小，设D′B与直线AC交于点E″.由题意知D′174，9，直线BD′：y＝3613x－3613，∴E″10123，21623，即点E′的坐标为(10123，21623)．针对训练：1.解：(1)∵直线y＝kx＋b经过A(－4，0)、B(0，3)，∴－4k＋b＝0，b＝3，解得k＝34，b＝3.∴y＝34x＋3.(2)过点P作PH⊥AB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A、P作MN的垂线段，垂足分别为M、N.设H(m，34m＋3)，则M(－4，34m＋3)，N(x，34m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．∵PH⊥AB，∴∠PHN＋∠AHM＝90°，∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°.∴∠MAH＝∠PHN，∵∠AMH＝∠PNH＝90°，∴△AMH∽△HNP.∵MA∥y轴，∴△MAH∽△OBA.∴△OBA∽△NHP.∴NH3＝PN4＝PH5.∴x－m3＝（34m＋3）－（－x2＋2x＋1）4＝d5.整理得：d＝45x2－x＋85，所以当x＝58时，d取最小值，此时P(58，11964)．(3)抛物线的对称轴为直线x＝1，作点C关于直线x＝1的对称点C′，过点C′作C′F⊥AB于F.过点F作JK∥x轴，分别过点A、C′作AJ⊥JK于点J，C′K⊥JK于点K，则C′(2，1)．设F(m，34m＋3)，∵C′F⊥AB，∴∠AFJ＋∠C′FK＝90°，∵C′K⊥JK，∴∠C′＋∠C′FK＝90°，∴∠C′＝∠AFJ，∵∠J＝∠K＝90°，∴△AFJ∽△FC′K.∴AJFK＝JFC′K，∴34m＋32－m＝m＋434m＋2，解得m＝825或m＝－4(不符合题意，舍去)．∴F(825，8125)，∵C′(2，1)，∴FC′＝145.∴CE＋EF的最小值＝C′F＝145.2.解：(1)对于抛物线y＝－33x2＋233x＋3，令x＝0，得y＝3，即C(0，3)，D(2，3)，∴DH＝3，令y＝0，即－33x2＋233x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，∵AE⊥AC，EH⊥AH，∴△ACO∽△EAH，∴OCAH＝OAEH，即33＝1EH，解得：EH＝3，则DE＝23；(2)如图②，找点C关于DE的对称点N(4，3)，找点C关于AE的对称点G(－2，－3)，连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF的周长＝CF＋PF＋CP＝GF＋PF＋PN最小，直线GN的解析式：y＝33x－33；直线AE的解析式：y＝－33x－33；直线DE的解析式：x＝2.联立得：F(0，－33)，P(2，33)，过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M(m，－33m2＋233m＋3)，则Q(m，33m－33)(0≤m≤2)；∴S△MFP＝S△MQF＋S△MQP＝12MQ×2＝MQ＝－33m2＋33m＋433，∵对称轴为直线m＝12，而0≤12≤2，抛物线开口向下，∴m＝12时，△MPF的面积有最大值，为17312.3.解：(1)∵对称轴为直线x＝2，∴设抛物线解析式为y＝m′(x－2)2＋k.将A(－1，0)，C(0，5)代入得：9m′＋k＝0，4m′＋k＝5，解得m′＝－1，k＝9，∴y＝－(x－2)2＋9＝－x2＋4x＋5.(2)∵M(0，1)，C(0，5)，△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3.令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2±6.∵点P在第一象限，∴P(2＋6，3)．四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME＋PF最小，则四边形PMEF的周长最小．如图，将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2(1，－1)；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME＋PF＝PM2最小．设直线PM2的解析式为y＝mx＋n，将P(2＋6，3)，M2(1，－1)代入得：（2＋6）m＋n＝3，m＋n＝－1，解得：m＝46－45，n＝－46＋15，∴y＝46－45x－46＋15.当y＝0时，解得x＝6＋54.∴F(6＋54，0)．∵a＋1＝6＋54，∴a＝6＋14.∴a＝6＋14时，四边形PMEF周长最小．4.解：(1)依题意，得ax2＋2ax－3a＝0(a≠0)，解得x1＝－3，x2＝1，∵B点在A点右侧，∴A点坐标为(－3，0)，B点坐标为(1，0)，证明：∵直线l：y＝33x＋3，当x＝－3时，y＝33×(－3)＋3＝0，∴点A在直线l上．(2)过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，∵点H、B关于过A点的直线l：y＝33x＋3对称，∴AH＝AB＝4，又∵点H为抛物线顶点，则点H在抛物线对称轴上，∴AH＝BH＝AB＝4.在Rt△ACH中，由勾股定理得CH＝AH2－AC2＝23，∴顶点H(－1，23)，代入二次函数解析式，解得a＝－32，∴二次函数解析式为y＝－32x2－3x＋332.(3)直线AH的解析式为y＝3x＋33，直线BK的解析式为y＝3x－3，由y＝33x＋3，y＝3x－3，解得x＝3，y＝23，即K(3，23)，则BK＝4，∵点H、B关于直线AK对称，∴HN＋MN的最小值是MB，过点K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则KE＝KD＝23，QM＝MK，QE＝EK＝23，AE⊥QK，∴BM＋MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN＋NM＋MK的最小值，∵BK∥AH，∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°，由勾股定理得QB＝8，∴HN＋NM＋MK的最小值为8.5.解：(1)令y＝0，即－12x2＋2x＋3＝0，解得：x1＝－2，x2＝32，∴A(－2，0)，B(32，0)，∵当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)，在Rt△BOC中，BO＝32，CO＝3，∴BC＝33，∴sin∠CBO＝