同济大学线性代数教案第四章相似矩阵及二次型

1线性代数教学教案第四章相似矩阵及二次型授课序号01教学基本指标教学课题第四章第一节向量的内积、长度及正交性课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点向量的内积和长度、向量的正交、正交向量组、施密特正交化过程、正交矩阵教学难点向量组的施密特正交化、正交矩阵参考教材同济版《线性代数》作业布置课后习题大纲要求了解向量的内积、长度、正交、标准正交基、正交矩阵等概念；掌握施密特正交化方法。教学基本内容一、向量的内积、长度：向量的内积：设有n维向量1122,nnxyxyxyxy，令T1122,nnxyxyxyxyxy，称,xy为向量x与y的内积.内积的性质（其中,xy与z都是n维列向量，为实数）：(i),,xyyx；(ii),,,xyxyxy；(iii),,,xyzxzyz；(iv),0xx，当且仅当0x时，,0xx.柯西-施瓦茨（-Schwarz）不等式：2,,,xyxxyy.2向量的长度：设有n维向量12nxxxx，令22212,nxxxxxx，称x为向量x的长度（或范数）.向量的长度具有下述性质：(i)非负性当0x时，0x；当0x时，0x；(ii)齐次性xx；(iii)三角不等式xyxy.向量的夹角：当,00xy时，,arccosxyxy称为n维向量x与y的夹角.二、正交向量组：正交向量组：由一组两两正交的非零向量组成的向量组，称为正交向量组.正交向量组的性质：若n维向量组12,,,m是一个正交向量组，则12,,,m线性无关.规范正交基：设n维向量组12,,,r是向量空间nVV的一个基，如果12,,,r两两正交，且都是单位向量，则称12,,,r是V的一个规范正交基.三、施密特正交化过程：设12,,,r是向量空间V的一个基，第一步，将基12,,,r正交化（施密特（Schmidt）正交化）：令121122111132333121122121121112211,,,,,,,,,,,,.,,,rrrrrrrrr则12,,,r两两正交，且与12,,,r等价.第二步，将12,,,r单位化，得到112212111,,,rrr.3于是，12,,,r就是V的一个规范正交基.四、正交矩阵：正交矩阵：如果n阶矩阵满足TE(即1T)，那么称为正交矩阵，简称正交阵.定理设矩阵是n阶方阵，则下列结论等价：（1）是n阶正交阵；（2）的列向量组是n的一个规范正交基；（3）的行向量组是n的一个规范正交基.正交变换：若P为正交矩阵，则线性变换yPx称为正交变换.五、主要例题：例1已知3维空间3中的两个向量12111,211正交，试求一个非零向量3，使123,,两两正交.例2设1231021,4,1111是3的一个基，求一个与123,,等价的规范正交基.例3已知1111，求一组非零向量23,，使123,,两两正交.例4验证矩阵11112222111122221111222211112222P是正交阵.4授课序号02教学基本指标教学课题第四章第二节方阵的特征值与特征向量课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点方阵特征值、特征向量的求法和性质教学难点方阵特征值、特征向量的求法和性质参考教材同济版《线性代数》作业布置课后习题大纲要求理解方阵特征值、特征向量的概念和性质；掌握方阵特征值、特征向量的求法。教学基本内容一、方阵特征值、特征向量的概念及求法：特征值和特征向量：设是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量使关系式成立，那么数称为矩阵的特征值，非零向量称为的对应于特征值的特征向量.特征多项式：记11121212221112nnnnaaaaaafEaaa，则f是的n次多项式，称为矩阵的特征多项式.特征方程：0EA.A的特征值就是特征方程的根。二、方阵的特征值与特征向量的性质：性质1设n阶矩阵ija的特征值为12,,,n，则(i)121122nnnaaa；(ii)12n.性质2若是方阵的特征值，为对应于特征值的特征向量，则(i)k是方阵k的特征值（k为非负整数），对应于特征值k的特征向量是；(ii)k是方阵k的特征值（k为任意常数），对应于特征值k的特征向量是；5(iii)当可逆时,1是方阵1的特征值，对应于特征值1的特征向量是；(iv)若矩阵的多项式是10mmaaaE，则方阵的特征值是（其中10mmaaa是关于的多项式），对应于特征值的特征向量是.性质3如果1与2是方阵的同一特征值所对应的特征向量，则1122kk(1k、2k不同时为零)也是特征值所对应的特征向量.性质4设12,,,m是方阵的m个互不相同的特征值，12,,,m是依次与之对应的特征向量，则12,,,m线性无关.性质5设1和2是矩阵的两个不同的特征值，12,,,s和12,,,t是分别对应于1和2的线性无关的特征向量，则1212,,,,,,,st线性无关.三、主要例题：例1求矩阵100020003A的特征值和特征向量.例2求矩阵120030211B的特征值和特征向量例3求矩阵102030201C的特征值和特征向量.例4设3阶矩阵的特征值为1,2,3，求*232AAE的特征值.例5设1和2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为1和2，证明12不是A的特征向量.6授课序号03教学基本指标教学课题第四章第三节相似矩阵课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点相似矩阵的概念和性质、矩阵可相似对角化的充分必要条件教学难点矩阵可相似对角化的充分必要条件参考教材同济版《线性代数》作业布置课后习题大纲要求理解矩阵相似的概念和性质；理解矩阵可相似对角化的充分必要条件。教学基本内容一、方阵相似的定义和性质：定义：设,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，1PAPB，则称B是的相似矩阵，或者说矩阵与B相似.对进行运算1PAP称为对进行相似变换，可逆矩阵P称为把变成B的相似变换矩阵.定理1若n阶矩阵与B相似,则与B有相同的特征多项式,从而与B有相同的特征值.推论若n阶矩阵与对角阵12n相似，则12,,,n即是的n个特征值.若n阶矩阵与B相似，即1PAPB，则11kkkAPBPPBP，并且的多项式111010=mmmmaaaaaaAAAEPBPPBPE1110mmaaaPBPPBPE11110=mmaaaPBPPBPPEP1110mmaaaPBBEPPBP.特别地，若有可逆矩阵P，使1PAP为对角阵，则11,kkAPPAPP.而对于对角阵12,,,ndiag，有71122,kkkknn，由此可方便地计算的高次幂k及的多项式.二、方阵的相似对角化：定理2n阶矩阵与对角阵相似(即能对角化)的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量.推论如果n阶矩阵的n个特征值互不相等，则与对角阵相似.三、主要例题：例1设0011100xyA有三个线性无关的特征向量，求x与y应满足的条件.8授课序号04教学基本指标教学课题第四章第四节实对称矩阵的相似对角化课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点实对称矩阵特征值的性质、实对称矩阵对角化的方法教学难点实对称矩阵特征值的性质、实对称矩阵对角化的方法参考教材同济版《线性代数》作业布置课后习题大纲要求了解实对称矩阵特征值与特征向量的性质；掌握利用正交矩阵将实对称矩阵化为对角阵的方法。教学基本内容一、实对称矩阵特征值和特征向量的性质：性质1实对称矩阵的特征值为实数.性质2设12,是对称阵的两个特征值，12,pp是对应的两个特征向量.若12，则1p与2p正交.二、实对称矩阵的相似对角化：定理n阶实对称阵必定正交相似于实对角阵，即存在正交阵P，使1TPAPPAP，其中的对角线上的元素是的n个特征值.推论设为n阶实对称阵，是的特征方程的k重根，则矩阵AE的秩RnkAE，从而对应特征值有k个线性无关的特征向量.三、主要例题：例1设矩阵102010302A，求正交阵P，使得1TPAPPAP为对角阵.例2设211121112A，求10A.9授课序号05教学基本指标教学课题第四章第五节二次型及其标准形课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二次型及其标准形的概念、二次型的矩阵表示、用正交变换化二次型为标准形教学难点用正交变换化二次型为标准形参考教材同济版《线性代数》作业布置课后习题大纲要求熟悉二次型及其标准形的概念；熟悉二次型及其标准形的矩阵表示、二次型的秩；掌握用正交变换化二次型为标准形的方法；会用配方法化二次型为规范形。教学基本内容一、二次型及其标准形的定义：二次型：含有n个变量12,,,nxxx的二次齐次多项式212111121213131,1,,,222nnnfxxxaxaxxaxxaxx222223232,222nnaxaxxaxx21,111,12nnnnnnnaxaxx2nnnax称为二次型.如果所有系数1,ijaijn均为实数，则称二次型为实二次型.二次型的标准形：如果n元二次型12,,,nfxxx只含有平方项，即222121122,,,nnnfxxxkxkxkx，称这样的二次型为二次型的标准形.二次型的规范形：如果标准形的系数12,,,nkkk只在1,1,0三个数中取值，也就是22221211,,,npprfxxxxxxx，就称其为二次型的规范形.二次型的矩阵表示：二次型10222T1211122212121,1,,,nnnnnnnnfxxxaxaxaxaxxaxxxxA，其中11121121222212,nnnnnnnaaaxaaaxxaaaAx.把对称阵A叫做二次型TfxxxA的矩阵，也把TfxxxA叫做对称阵A的二次型.二次型的秩：对称阵A的秩就叫做二次型TfxxxA的秩.二、用正交变换化二次型为标准形：矩阵的合同：设和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使TBCAC，则称矩阵与B合同.定理任给二次型,1nijijijji