同济大学线性代数教案第五章线性空间与线性变换

1线性代数教学教案第五章线性空间与线性变换授课序号01教学基本指标教学课题第五章第一节线性空间的定义与性质课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点线性空间与子空间的概念、线性空间的性质教学难点线性空间、子空间的判定参考教材同济版《线性代数》作业布置课后习题大纲要求了解线性空间和子空间的概念；了解线性空间的性质。教学基本内容一、线性空间的定义：定义1：设V是一个非空集合，为实数域.对于任意两个元素,V，在V中总有唯一确定的一个元素与之对应，称为与的和，记作.对于中任一数与V中任一元素，在V中总有唯一确定的一个元素与之对应，称为与的数量乘积，记作.如果这两种运算满足以下八条运算规律(设,,;,V):(i)加法交换律：；(ii)加法结合律：；(iii)在V中存在零元素0；对于任何V，都有是0；(iv)负元素：对于任何V，都有是的负元素V，使0；(v)1；(vi)；(vii)；2(viii)；那么，V就称为实数域上的线性空间.二、线性空间的性质：性质1零元素是唯一的.性质2任一元素的负元素是唯一的（以后将的负元素记作）.性质3;;01000.性质4如果0，则0或0.三、线性空间的子空间：定义2：设V是实数域上线性空间，W是V的一个非空子集.如果W关于V的加法和数乘运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间.定理实数域上线性空间V的非空子集W成为V的一个子空间的充分必要条件是W关于V的加法和数乘是封闭的.四、主要例题：例1次数不超过n的多项式的全体，记作nPx，即1010,,,nnnnPxpxaxaxaaaa，对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.例2设集合,,bCabfxfxa为上的连续函数是定义在区间,ab上的连续实函数全体所成的集合，关于通常的函数加法和数乘函数的乘法构成线性空间.例3设1112121222121;1nnmnijmmmnaaaaaaMAaimjnaaa是实数域上的矩阵全体所成的集合.显然mnM是非空的，mnM对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间.特别地，1112121222121,nnnijnmnnaaaaaaMAaijnaaa3也是实数域上的线性空间.例4n次多项式的全体1010,,,,0,nnnnnQxpaxaxaaaaRa且对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间.例5n个有序实数组成的数组的全体1111,,,,,,TnnnSxxxxxxxR对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法1,,0,,0TTnxx不构成线性空间.例6正实数的全体，记作，在其中定义加法及乘数运算为,,abababR,,aaRaR验证对上述加法与乘数运算构成线性空间.例7在实数域上线性空间1112121222121,nnnijnmnnaaaaaaMAaijnaaa中，对角矩阵所成的集合11221niinnaaDAaina是nM的非空子集，且nD关于nM的加法和数乘是封闭的，所以nD是nM的一个子空间.4授课序号02教学基本指标教学课题第五章第二节维数、基与坐标课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点线性空间的基、维数与坐标、基变换与坐标变换教学难点线性空间的基、基变换与坐标变换参考教材同济版《线性代数》作业布置课后习题大纲要求了解线性空间的基、维数、坐标的概念；了解基变换与坐标变换；会求向量在给定基下的坐标。教学基本内容一、线性空间的基、维数与坐标：定义1：在线性空间V中，如果存在n个元素12,,,n满足(i)12,,,n线性无关；(ii)V中任一元素总可由12,,,n线性表示，那么，12,,,n就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数，记作dimVn。只含一个零元素的线性空间称为零空间，零空间没有基，规定它的维数为0.n维线性空间V也记作nV.定义2：设12,,,n是线性空间nV的一个基，对于任一元素nV，总有且仅有一组有序数组12,,,nxxx，使1122nnxxx，12,,,nxxx这组有序数就称为元素在基12,,,n下的坐标，并记作T12,,,nxxx.二、基变换与坐标变换设12,,,n与12,,,n是线性空间nV中的两个基，且(5-1)51212,,,,,,nnP，则上式称为从基12,,,n到基12,,,n的基变换公式，矩阵P称为由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵.由于12,,,n线性无关，过渡矩阵P可逆.设nV中的元素在基12,,,n下的坐标为T12,,,nxxx，在基12,,,n下的坐标为T12,,,nyyy，且由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为矩阵P，于是有坐标变换公式1122nnxyxyxyP或11221=nnyxyxyxP.三、主要例题：例1在线性空间4Px中，234012341,,,,ppxpxpxpx就是它的一个基，任一不超过4次的多项式23401234paaxaxaxax都可表示为0011223344,papapapapap因此p在这个基下的坐标为T01234,,,,aaaaa.例2在线性空间1112221221,2ijaaMAaijaa中，由于对任一向量111222122aaAMaa有111211122122212210010000=00001001aaAaaaaaa，且容易证明1112212210010000,,,00001001eeee线性无关，所以11122122,,,eeee是2M的一个基，向量11122122aaAaa在这个基下的坐标就是6T11122122,,,aaaa.例3在4Px中取两个基为234012341,,,,ppxpxpxpx，及234012341,1,1,1,1qqxqxqxqx，求从基,,,,01234ppppp到基,,,,01234qqqqq的过渡矩阵，以及任一不超过4次的多项式23401234paaxaxaxax在这两组基下的坐标和坐标变换公式.7授课序号03教学基本指标教学课题第五章第三节线性变换课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点线性变换的概念和性质、线性变换的矩阵表示教学难点线性变换的概念和性质、线性变换的矩阵表示参考教材同济版《线性代数》作业布置课后习题大纲要求了解线性变换的概念；会求线性变换的矩阵表示；了解线性变换的像空间、核和秩。教学基本内容一、线性变换的定义：定义1：设,nmVU分别是n维和m维线性空间，如果映射:nmTVU满足(i)任给12,nV，有1212TTT；(ii)任给,nV（从而nV），有TT，那么，T就称为从nV到mU的线性映射，或称为线性变换.即线性映射就是保持线性组合的对应的映射.特别地，如果取nmVU，那么T是一个从线性空间nV到其自身的线性映射，称为线性空间nV中的线性变换.二、线性变换的性质：性质1,TTT00；性质2若1122mmkkk，则1122mmTkTkTkT；性质3若12,,,m线性相关，则12,,,mTTT亦线性相关.性质4线性变换T的像集nTV是一个线性空间，称为线性变换T的像空间.性质5使T0的的全体,TnSVT0也是nV的一个线性子空间，称TS为线性变换T的核.三、线性变换的矩阵表示式：8设线性空间nV的一个基为12,,,n，T是nV中的线性变换，则,,,121212,,,,,,nnnTTTTA，矩阵A称为线性变换T在基12,,,n下的矩阵.定理1设线性变换T在基12,,,n下的矩阵是A，向量与T在基12,,,n下的坐标分别为12nxxx和12nyyy，则有1122nnyxyxyxA.按坐标表示，有.TA定理2设线性空间nV中取定两个基12,,,n与12,,,n，由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为P，nV中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，那么1BAPP.四、主要例题：例1设V是实数域上的一个线性空间，对任意的V，分别定义如下三个VV的映射：(1)I；(2)O0，其中0是V中的零向量；(3)Tk，其中k是固定的数.则这三个映射都是线性空间V上的线性变换，分别称为V的恒等变换、零变换和数乘变换.例2在线性空间3Px中(i)微分运算D是一个线性变换.(ii)如果1Tp，那么T是个变换，但不是线性变换.例3在2,xxyy中定义映射22:T为：cossinsincosxxTyy，验证T是2上的线性变换.这个线性变换的几何意义是：T将xoy平面上任一向量绕原点按逆时针方向旋转角.9例4设有n阶矩阵12,,,ijnAa，其中12iiiniaaa.定义n中的变换yTx为nTxAxx，验证T为n上的线性变换.例5在3Px中取基,,,2312341ppxpxpx，求微分运算D的矩阵.例6设3上线性变换T定义为1122233122xxxTxxxxx，分别求T在基,,123100010001eee与基,,123111011001下的矩阵.例7设3R上线性变换T在基,,123100010001eee下的矩阵为122212221A，求T在基,,123101110012下的矩阵.