同济大学高等数学教案第五章向量与空间解析几何

1高等数学教学教案第五章向量与空间解析几何授课序号01教学基本指标教学课题第五章第一节向量及其运算课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点数量积、向量积、垂直与平行教学难点向量积参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解空间直角坐标系。理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件，掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。教学基本内容一、基本概念：1、空间直角坐标系：过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且具有相同的长度单位，这三条数轴分别称为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）、统称坐标轴.其正向符合右手规则.这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系.设1111,,Mxyz、2222,,Mxyz为空间两个点，通过1M、2M各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面组成一个以1M、2M为对角线的长方体，由此可得2222212212121dMMxxyyzz，2即22212212121dMMxxyyzz.2、向量的夹角将向量a、b的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转过角度后可与另一个向量正向重合，见图5-8，则称为向量a、b的夹角，记作,ab，即,,abba0π，3、向量的运算以共起点向量a、b为平行四边形相邻两边，以a向量的起点作为起点的其对角线表示的向量为两个向量的和，记为ab,见图5-14.以a向量的终点为起点，b向量的终点为终点的对角线向量为向量的差.记为abab.设是一个数，向量a与数的乘积a规定为当0时，a表示一向量，其大小aa，方向与a同向；当0时，0a是零向量；当0时，a表示一向量，其大小aa，方向与a反向.特别地，当1时，1aa.4、向量的模、方向角设a为任意一个向量，又设、、为与三坐标轴正向之间的夹角（0,,π），见图5-22，,,分别为向量a的方向角.由于向量坐标就是向量在坐标轴上的投影，故有cosxaa，cosyaa，coszaa，其中cos、cos、cos称为向量a的方向余弦，通常用它表示向量的方向.由模的定义，可知向量a的模为222222212121xyzaxxyyzzaaa.或222cosxxyzaaaa，222cosyxyzaaaa，222coszxyzaaaa，3由此可得222coscoscos1，即任一向量的方向余弦的平方和为1.22211e,,,,cos,cos,cosaxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaa.5、数量积给定向量a与b，我们做这样的运算：a与b及它们的夹角与的余弦的乘积，称为向量a与b的数量积.记为ab，即coscos,abababab0π.（1）PrjPrjabababba；（2）2cos,aaaaaaa；（3）若0a，0b，则0abab.6、向量积若由向量a与b所确定的一个向量c满足下列条件：（1）c的方向既垂直于a又垂直于b,c的指向按右手规则从a转向b来确定（2）c的模sin||||||bac，(其中为a与b的夹角)，则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积），记为bac.xyxzyxyzzxzyababkabjabkabiabjabiyzzyxzzxxyyxababiababjababk1yzxyxzxyzyzxyxzxyzijkaaaaaaijkaaabbbbbbbbb7、向量的混合积定义3设三向量a，b，c，先作向量积ab，再作数量积abc，记作abc，称为三个向量a，b，c的混合积.设,,xyzxyzaaaaaiajak，,,xyzxyzbbbbbibjbk，4,,xyzxyzcccccicjck，1xyzyzxyxzxyzxyzyzxyxzxyzcccaaaaaaabccccaaabbbbbbbbbxyzxyzxyzxyzxyzxyzaaabbbbbbccccccaaa，二、定理与性质：定理1向量AB在u轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量AB的夹角的余弦，即PrjcosuABAB.定理2两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和.定理3：PrjPrjuuaa.三、主要例题：例1证明以点14,3,1M、27,1,2M及35,2,3M为顶点的三角形是等腰三角形.例2在z轴上求与两点4,3,1A和3,5,2B等距离的点.例3设1P、2P为u轴上坐标为1u，2u的任意两点，又e为与u轴正向一致的单位向量（见图5-18），则有1221ePPuu.例4设111,,Axyz和222,,Bxyz为空间两点，而在AB直线上的点M分有向线段AB为两个有向线段AM与MB，使它们的模的比等于某数1，即AMMB，求分点M的坐标x，y和z.例5设,853kjim,742kjin,45kjip求pnma34在y轴上的分向量.例6设两已知点12,2,2M和21,3,0M，分别写出向量12MM、21MM的坐标表达式和向表达式，计算它们的模、方向余弦、方向角、单位向量.例7求平行于向量kjia676的单位向量.例8已知向量21PP的模为,2||21PP向量与x轴和y轴的夹角分别为π3和π4,如果1P的坐标为(1,0,3),5求2P的坐标.例9利用向量证明不等式:222123aaa232221bbb112233ababab其中123123,,,,,aaabbb为任意常数,并指出等号成立的条件.例10已知1,1,4,1,2,2,ab求(1);ba(2)a与b的夹角;(3)a与b上的投影.例11已知375abab，472abab，试求,ab.例12液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为v（常向量），设n为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的重量P（液体的比重为）.例13求与kjibkjia2,423都垂直的单位向量.例14在顶点为)2,6,5(),2,1,1(BA和)1,3,1(C的三角形中,求AC边上的高BD.例15设向量pnm,,两两垂直,符合右手规则,且,4m,2n,3p计算.)(pnm例16设刚体以等角速度绕l轴旋转,计算刚体上一点M的线速度.例17已知2)(cba,计算).()]()[(accbba例18已知空间内不在同一平面上的四点),,(),,,(),,,(),,,(444333222111zyxDzyxCzyxBzyxA求四面体的体积.例19已知kjickjbia22,2,,求一单位向量,使c,且与ba,此同时共面.6授课序号02教学基本指标教学课题第五章第二节第二节平面及其方程课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点平面方程教学难点平面方程参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求掌握平面的方程及其求法，会利用平面的相互关系解决有关问题。教学基本内容一、基本概念：二、定理与性质：1、平面的点法式方程0000AxxByyCzz2、平面的一般方程0AxByCzD3、平面的截距式方程1xyzabc4、两平面的夹角设平面1的方程为11110AxByCzD，平面2的方程为22220AxByCzD，1111,,nABC，2222,,nABC，1212121222222212111222cosnnAABBCCnnABCABC.5、点到平面的距离设0000,,Pxyz为平面0AxByCzD外的一点，7000222dAxByCzDABC.三、主要例题：例1求过点2,3,1且与1,2,0n垂直的平面的方程.例2求过点11,1,2M、21,2,0M及31,3,3M的平面的方程.例3求通过x轴和点(2,4,1)的平面方程.例4设一平面与x、y、z轴分别交于点,0,0Pa、0,,0Qb、0,0,Rc0abc，求这个平面的方程.例5研究以下各组里两平面的位置关系:(1),012:1zyx;013:2zy(2),012:1zyx.01224:2zyx例6求平面,使其满足:(1)过z轴;(2)与平面052zyx夹角为π3.例7一平面通过两点11,1,1M和20,1,1M且垂直于平面0xyz，求该平面方程.例8求两平行平面1：052210zyx和2：x501zy之间的距离d.例9求平行于平面0432:0zyx,且与球面2229xyz：相切的平面的方程.8授课序号03教学基本指标教学课题第五章第三节直线及其方程课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点直线方程教学难点线线关系、线面关系参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求掌握直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题教学基本内容一、基本概念：二、定理与性质：1、空间直线一般方程1111222200AxByCzDAxByCzD2、对称式方程及参数方程给定直线上的一点0000,,Mxyz及一个方向向量,,smnp，即有000xxyyzzmnp，若设000xxyyzztmnp，则有参数方程000xxmtyyntzzpt.3、两直线的夹角两直线的方向向量之间的夹角（通常取锐角）称为两直线的夹角，即1212,,llss或1212,π,ssss两者中的锐角.设1l：111111xxyyzzmnp，其中1111,,smnp，11111,,Mxyzl2l：222222xxyyzzmnp，其中2222,,smnp，22222,,Mxyzl，9则121212121222222212111222cos,ssmmnnppllssmnpmnp；4、直线与平面的夹角设直线l：000xxyyzzmnp，,,smnp，平面：0AxByCzD，,,nABC，则π,2sn，因此222222sincos,AmBnCpsnABCmnp.5、平面束通过定直线的平面的全体称为过该直线的平面束，有时候用平面束解题非常方便，现在我们来介绍它的方程.设直线l：1111222200AxByCzDAxByCzD，其中系数111,,ABC与222,,ABC不成比例，则过该直线的平面束方程为111122220AxByCzDAxByCzD三、主要例题：例1（1）求过点)5,2,3(且分别与两个平面152zyx和34zx平行的平面1与2的方程.