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教育资源1基础巩固一、选择题1．如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，则应选择的游戏盘是()[答案]A[解析]P(A)＝38，P(B)＝26＝13，P(C)＝1－π41＝1－π4，P(D)＝1π.则P(A)最大，故选A.2.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是()A.14B.π4C.13D.π3[答案]B[解析]设事件A＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A的几何区域为内切圆的面积S＝πR2(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P(A)＝πR2R2＝π4，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为π4.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1－ABC内的概率是()A.13B.16C.12D.14[答案]B[解析]体积型几何概型问题．教育资源2P＝VA1－ABCVABCD－A1B1C1D1＝16.4.如图，在一个边长为a、b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a3与a2，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为()A.112B.14C.512D.712[答案]C[解析]S矩形＝ab.S梯形＝1213a＋12ab＝512ab.故所投的点落在梯形内部的概率为P＝S梯形S矩形＝512abab＝512.5．(2015·山东济南模拟)在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是()A.π4B.π10C.π20D.π40[答案]A[解析]设在[0,1]内取出的数为a，b，若a2＋b2也在[0,1]内，则有0≤a2＋b2≤1.如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a2＋b2在[0,1]内的点在14单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为14π1＝π4.6．在面积S为△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率是()A.14B.12C.34D.23[答案]C教育资源3[解析]如图，设点C到边AB的距离为h，则S△ABC＝12|AB|·h，S△PBC＝12|PB|·h.又因为S△PBC14S△ABC，所以|PB|14|AB|，故△PBC的面积大于S4的概率是34.二、填空题7．(2013·福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为________．[分析]解不等式，求出a的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可．[答案]13[解析]由题意，得0＜a＜13，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a－1＜0”发生的概率为13.8．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体的6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”．那么小蜜蜂“安全飞行”的概率为________．[答案]127[解析]棱长为3的正方体的体积为3×3×3＝27，若小蜜蜂“安全飞行”，则需控制在以原正方体的中心为中心的棱长为1的小正方体内部，故小蜜蜂飞行区域的体积为1×1×1＝1.根据几何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为127.三、解答题9．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．[解析]在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．(1)P＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.10．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m、宽20m的长方形，求海豚嘴尖离岸边教育资源4不超过2m的概率．[分析]海豚在水中自由游弋，它的嘴尖在水池中的位置有无限多个，并且每个位置都是等可能的，满足几何概型的条件，本题可先求出所求事件对应部分面积及整个区域面积，再利用几何概型概率公式求解．[解析]如下图，该区域是长30m、宽20m的长方形．图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m\”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，由于该区域的面积为30×20＝600(m2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m2)，所以P(A)＝184600＝2375≈0.31.[点评]解决此类题的关键：(1)根据题意确定是与面积(体积)有关的几何概型；(2)找出或构造出对应的几何图形，求出面积(体积)．能力提升一、选择题1．(2015·东曲阜师大附中月考)在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为()A.π16B.π8C.π4D.π2[答案]B[解析]该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心，1为半径的14圆内，所以所求的概率为π8.2．(2015·虹宁大连质检)一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为()A.π2B．1－π12C．1－π6D．1－π3[答案]B教育资源5[解析]作出满足题意的区域如右图，则由几何概型的知识得，所求概率P＝12×3×4－12π×1212×3×4＝1－π12.3．某人从甲地去乙地共走了500m，途中要过一条宽为xm的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为()A．16mB．20mC．8mD．10m[答案]B[解析]物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为2425，即掉到河里的概率为125，则河流的宽度占总距离的125，所以河宽为500×125＝20(m)．4．(2014·湖北，理7)由不等式组x≤0，y≥0，y－x－2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组x＋y≤1，x＋y≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.18B.14C.34D.78[答案]D[解析]如图，由题意知平面区域Ω1的面积SΩ1＝S△AOM＝12×2×2＝2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分，面积S阴＝SΩ1－S△ABC＝2－12×1×12＝74.由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P＝S阴SΩ1＝742＝78.故选D.教育资源6二、填空题5．一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．[答案]12[解析]如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则△ABC的周长为3＋4＋5＝12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A，则P(A)＝DE＋FG＋MNBC＋CA＋AB＝3＋2＋112＝12.6．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为________．[答案]53125[解析]由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R＝5，圆柱底面半径r＝4，高h＝6，故球体积V＝43πR3＝500π3，圆柱体积V1＝πr2·h＝96π，∴所求概率P＝500π3－96π500π3＝53125.三、解答题7．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多少？教育资源7[解析](1)设事件A＝“弦长超过3”，弦长只与它跟圆心的距离有关，∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于12时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)＝12.(2)设事件B＝“弦长超过3”，弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点在半径为12的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P(B)＝14.(3)设事件C＝“弦长超过3”，固定一点A于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC，显然只有当弦的另一端点D落在BC︵上时，才有|AD||AB|＝3，由几何概率公式知P(C)＝13.8．(2015·江西南昌摸底)两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．[探究]两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即23小时，设两人分别于(20＋x)时和(20＋y)时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，则有－23≤x－y≤23，因此转化成与面积有关的几何概型问题，利用几何概型概率公式求解．[解析]设两人分别于(20＋x)时和(20＋y)时到达约定地点，要使两人能在约定时间范围内相见，则有－23≤x－y≤23.(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即P＝S阴影S单位正方形＝1－13212＝89.