同济大学高等数学教案第七章多元函数积分学

1高等数学教学教案第七章多元函数积分学授课序号01教学基本指标教学课题第七章第一节二重积分的概念、计算和应用课的类型复习、新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二重积分的计算方法教学难点二重积分的应用参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解二重积分，了解二重积分的性质掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会用二重积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量等)教学基本内容一、基本概念：1.曲顶柱体的体积曲面(,)zfxy在平面闭区域D上连续，且有(,)0fxy.过D的边界作垂直于xOy面的柱面S，则区域D和柱面S以及曲面(,)zfxy构成一个封闭的立体，称为以D为底的，(,)zfxy为顶的曲顶柱体.01lim(,)niiiifxy即为所求的曲顶柱体的体积.2.二重积分的概念设(,)fxy是平面闭区域D上的有界函数，将D任意分割成n小块：12,,nDDD，记第i块的面积为(1,2,.)iin，在第i块上任取一点(,)iixy（见图7-4），作1(,)niiiifxy，取1max{}iindiam，2即是各iD的直径中的最大值.当0时，如果01lim(,)niiiifxy总是存在，则极限值称为函数(,)fxy在平面闭区域D上的二重积分，记为01(,)dlim(,)niiiiDfxyfxy.其中D称为积分区域，(,)fxy称为被积函数，d称为面积微元，(,)fxyd称为被积表达式，1(,)niiiifxy称为积分和.3、X型区域上的二重积分若积分区域D可以用不等式12(,)|()(),xyxyxaxb来表示，其中函数12(),()xx在区间[,]ab上连续，这样的区域称为X型区域.4、Y型区域上的二重积分设积分区域D可以用不等式12()(),yxycyd来表示，其中函数12(),()yy在区间[,]cd上连续，这样的区域称为Y型区域二、定理与性质：1、定理1在区域D上的连续函数一定是D上的可积函数.2、二重积分的性质性质1(,)(,)d(,)d(,)dDDDfxygxyfxygxy；性质2(,)d(,)d()DDkfxykfxykR；性质3设D由1D、2D组成，则1212(,)d(,)d(,)dDDDDDfxyfxyfxy；性质4如果(,)1fxy，则有1ddDDxxD的面积；性质5如果在区域D上满足(,)(,)fxygxy，则有(,)d(,)dDDfxygxy；3特别地,有(,)d|(,)|d.DDfxyfxy性质6设DS是区域D的面积.如果(,)fxy在D上有最大值M和最小值m，则有,dDDDmSfxyMS；这个不等式称为二重积分的估值不等式.性质7（二重积分的中值定理）如果(,)fxy在有界闭区域D上连续，则在D上至少可以找到一点(,)，使得(,)d(,)DDfxyfS.3、直角坐标系下二重积分的计算设函数(,)zfxy在矩形区域{(,)|,}Dxyaxbcyd上连续，且(,)0fxy.[,][,](,)ddd(,)dd(,)dbddbaccaDabcdfxyxyxfxyyyfxyx若D是由12,,(),()xaxbyxyx所围成的X型闭区域，2211()()()()(,)dd(,)ddd(,)dbxbxaxaxDfxyxyfxyyxxfxyy设D可以用不等式12()(),yxycyd来表示，2112()()()()(,)dd(,)ddd(,)ddydycycyDfxyxyfxyxyyfxyx4、极坐标系下二重积分的计算区域D的积分限12,()().rrr(,)dd(cos,sin)ddDDfxyxyfrrrr21()()d(cos,sin)d.rrfrrrr*5、二重积分换元法设函数,fxy在xOy平面内的闭区域D上连续，变换,,xxuvyyuv将uOv平面内的闭区域D变换成xOy平面内的闭区域D，且满足4（1）,xuv、,yuv在D上具有一阶连续偏导数；（2）在D上,0,xyJ；（3）变换,,xxuvyyuv：DD是一对一的，则有,dd,,,ddDDfxyxyfxuvyuvJuv.此式也称为二重积分换元公式.6、二重积分应用举例体积在本章第一节已经知道，若(,)zfxy在有界闭区域D上连续，且(,)0fxy，则二重积分(,)dDfxy在几何上是以(,)zfxy为顶的曲顶柱体的体积，所以我们可以利用二重积分计算立体的体积.质量与重心设有一平面薄片，它位于xOy面内区域D上，在点(,)xy处的面密度为区域D上的连续函数(,)xy.平面薄片的质量为(,)dDmxy.平面薄片的重心坐标为(,)d(,)d,(,)d(,)dyxDDDDxxyyxyMMxymmxyxy.如果平面薄片是均匀的，即(,)xy是常数，则均匀平面薄片的重心坐标为11d,dDDxxyyAA，其中dDA为闭区域D的面积.*平面薄片的转动惯量设有一平面薄片，它在xOy平面上占有（有界闭）区域D，面密度为连续函数,xy，,xyD.薄片对x轴、对y轴的转动惯量为52,dxDIyxy，2,dyDIxxy.三、主要例题：例1用二重积分表示上半球体2221,0xyzz的体积，并写出积分区域.例2比较积分ln()dDxy与2[ln()]dDxy的大小，其中区域D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).例3不作计算，估计22()edxyDI的值，其中D是椭圆闭区域：12222byax)0(ab.例4计算定积分10()dxyy.例5计算二重积分edd,xyDxy其中区域D是由0,1,0yxx,1y所围成的矩形.例6计算2ddDIxyxy，其中0,11,2D.例7将下列区域写成X型区域的表达式.（1）（2）若D是由12,,(),()xaxbyxyx所围成的X型闭区域，2211()()()()(,)dd(,)ddd(,)dbxbxaxaxDfxyxyfxyyxxfxyy例8计算二次积分01ddxxxxyy.6例9计算2d,Dxy其中D是由直线2,1xy及xy所围成的闭区域.例10计算221dDyxy,其中D是由直线1xxy、和1y所围成的闭区域.例11计算二重积分d,Dxy其中D是由抛物线xy2及直线2xy所围成的闭区域.例12计算2edd,yDxy其中D由1,yxy及y轴所围.例13交换二次积分210d(,)dxxxfxyy的积分次序.例14交换二次积分1220010d(,)dd(,)dxxxfxyyxfxyy的积分顺序.例15将下列区域用极坐标表示(1)22(,)|2Dxyxyx；(2）22(,)|Dxyxyy；(3）222(,)|(0)xyxyaa；(4）D为,0yxy与1x所围区域.解：（1）（2）（3）（4）例16计算22edxyD，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域例17计算22dDyx,其中D是由曲线xyx222所围成的平面区域.例18写出在极坐标系下二重积分(,)ddDfxyxy的二次积分，其中区域}.10,11|),{(2xxyxyxD例19计算二重积分eddyxyxDxy，其中区域D由0x，0y，2xy所围成.例20求由直线xyc、xyd、yax、ybx0,0abcd所围成的闭区域D的面积.例21求两个底面圆半径相等的直角圆柱所围立体体积.例22求球体22224azyx被圆柱面axyx222)0(a所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体7积.例23求曲线)(2)(222222yxayx和ayx22所围成区域D的面积*例24求椭球体1222222czbyax的体积.例25一圆环薄片由半径为4和8的两个同心圆所围成，其上任一点处的面密度与该点到圆心的距离成反比，已知在内圆周上各点处的面密度为1，求圆环薄片的质量.例26求位于两圆sin2和sin4之间的均匀薄片的重心.*例27求曲线1cosra所围平面薄片1对极轴的转动惯量.8授课序号02教学基本指标教学课题第七章第二节三重积分的概念、计算和应用课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点三重积分的计算方法教学难点三重积分的计算方法参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》作业布置课后习题大纲要求理解三重积分的概念，了解三重积分的性质，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标)教学基本内容一、基本概念：三重积分的概念定义设函数zyxf,,在空间的有界闭区域，上有界，将任意地分成n个小区域ivni,,2,1，其中既iv表示第i个小区域，也表示它的体积.任取,,iiiixyzvni,,2,1，记1maxiinv的直径，若01lim,,niiiiifxyzv存在，则称函数zyxf,,在上可积，此极限称为函数zyxf,,在上的三重积分，记作vzyxfd,,，即,,dfxyzv01lim,,niiiiifxyzv.其中dv为体积元素.在直角坐标系中，有时也把体积元素dv记为dddxyz，而把三重积分记为,,dddfxyzxyz其中dddxyz称为直角坐标系下的体积元素.二、定理与性质：1、三重积分的计算考虑有如下几何特征的闭区域：平行于z轴且穿过内部的直线与的边界曲面S相交不多于两点，9闭区域投影到xOy面得到一个平面闭区域xyD.1122:(,),:(,).SzzxySzzxyvzyxfd,,21,,dd,,dxyzxyzxyDxyfxyzz如果闭区域xyD又可以表示为12,,xyDxyyxyyxaxbvzyxfd,,2211,,dd,,dbyxzxyayxzxyxyfxyzz设1212,,,,,,rzzrzzrrrr，则vzyxfd,,2211,,ddcos,sin,drzrrzrrrfrrzz2、三重积分的应用空间立体的体积空间立体的体积dVv*3、三重积分在物理中的应用（1）空间物体的质量：,,dMxyzv，其中,,xyz为空间物体的体密度函数.（2）空间物体的质心：,,d,,dxxyzvxxyzv，,,d,,dyxyzvyxyzv，,,d,,dzxyzvzxyzv；空间立体的形心：ddxvxv，ddyvyv，ddzv