10-4第一类曲面积分

第一类曲面积分第四节第十章一、第一类曲面积分的概念及性质二、第一类曲面积分的计算三、五类积分的统一表述及其共性iiiiSf),,(作乘积设函数f(x,y,z)在分片光滑,i2.定义10.3的曲面上有界.，的面积为iSniiiiiSζηξf1.),,(时，和0λ并作黎曼和如果当各小块曲面直径的最大值的极限总存在,即极限值和曲面的分法及点记第i小块),,,2,1(ni上小块曲面在第ii),,,iiiiM（任取一点将任意分成n小块一、第一类曲面积分的概念及性质在曲面上的第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记作被积函数积分曲面积分和式面积元素被积表达式即,d),,(SzyxfniiiiiλSζηξfSzyxf1.0),,(limd),,(的取法无关，iM则称该极限值为函数f(x,y,z)注1º当函数f(x,y,z)在曲面上连续时,2º曲面形构件的质量可以表示为存在.曲面积分Szyxfd),,(Szyxd),,(3º曲面形构件的质心坐标可以表示为,d),,(1_SzyxxMx,d),,(1_SzyxyMy.d),,(1_SzyxzMz4º当被积函数为常数1时,曲面积分的面积曲面Sd5º当积分曲面为封闭曲面时,曲面积分可表示为Szyxfd),,(线性性质：)1(可加性：)2(1Rβα，3.性质Szyxgβzyxfαd),,(),,(SzyxgβSzyxfαd),,(d),,(组成和由曲面21Szyxfd),,(1d),,(Szyxf(3)对称性：，对面积的曲面积分Szyxfd),,(.重积分对称性的利用类似于三则面对称，关于上连续，在如：若yozzyxf),,(),,(),,(,0d),,(zyxfzyxfSzyxf.0:1的部分在x,d),,(21Szyxf),,(),,(zyxfzyxf基本思路:计算二重积分转化定理10.6是定义在光滑曲面求曲面积分二、第一类曲面积分的计算上的连续函数.yxDyxzyxf)),(,,(yxyxzyxzyxdd),(),(122则有下面的计算公式yxyxzyxzyxiDyxdd),(),(1)(22yxiiiyiixzz)(),(),(122证如图所示)),((iiiz)),((iiizSzyxfd),,(yxiiiyiixzz)(),(),(122yxyxzyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1)),(,,(22yzDzyzyzyxzyxzyzyxfdd),(),(1),),,((22Szyxfd),,(注则，：若曲面yzDzyzyxx),(),(1.dd1]),,(,[22zxyyzzxyxfxzDzxSzyxfd),,(则，：若曲面xzDzxzxyy),(),(2,dzS其中是球面2222azyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解2222:hayxDyx221yxzz例1计算曲面积分π20dayxDyxayxa222dd22022dhaa22022)ln(21π2haaa2222:hayxDyxzSdxyz例2为抛物面其中计算,dSzyx).10(22zyxz依对称性知：解轴对称，关于抛物面zyxz22yxzzSyxdd1d22yxyxdd)2()2(12222yxz：}0,0,1),({221yxyxyxD其中yxyxyxxyDdd)2()2(1)(422221d41sincosd4102222π0d41d2sin2210502π令241uuuud)41(41251.42015125}0,0,1),({221yxyxyxD例3其中是介于平面之间的圆柱面解(方法1)yzDzyyRx),(,:22121.}0,),{(HzRyzyDyzyzDzyyRx),(,:222oxyHzR12yzORHDyzyzDzyyRx),(,:221yzORHDyz注如果积分曲面的参数方程为：uvDvuvuzzvuyyvuxx),(),(),(),(Szyxfd),,(则uvDvuzvuyvuxf)],(),,(),,([.dd]),(),([]),(),([]),(),([222vuvuzyvuxzvuzy(方法2)其参数方程为：}0,π20),{(),(sincosHzzDzzzRyRxzzzzyzxzzzySdd]),(),([]),(),([]),(),([d222zRdd例4,22yxz是锥面其中,d)1(SxyzI.)0(222的整个表面面所围空间立体及圆柱面xOyaaxyx解321关于zOx面对称关于y奇函数321xyzO的面积.0xyDyxyxz),(,:)1(221321xyzO2axyDyxdd22axyODxy2π2a321xyzO2a，222)2(由对称性，得xzDzxxaxy),(2:22，xzDzxxaxy),(2:22，(方法1)2axzOaxyxyxz22222消去yaxyxzaxz2)0(2222Dxzaxz2321xyzO2axzDzxxaxy),(2:22，2axzODxzaxz22dS28a(方法2)321xyzO2a由第一类曲线积分的几何意义，知2dSLsyxd22L:20,sincosayaaxdcos12π20aad2cos2π202a28a2π2a.π822aa三、五类积分的统一表述及其共性背景定积分:第一类曲面积分:baxxfd)(二重积分:Dyxfd),(三重积分:vzyxfd),,(第一类曲线积分:Lsyxfd),(Szyxfd),,(当被积函数非负时直杆构件质量平面薄板质量空间物体质量曲线构件质量曲面构件质量有共同的物理意义（1）对数量值函数的积分；（2）数量值函数均定义在有界的几何形体上；（3）定义积分步骤相同：分割、近似、求和、取极限；（4）均为黎曼和的极限.因此可以给出上述五种积分定义的统一表述式.这五类积分的共性：定义10.4直线段、体中的一个有界的几何形是设(RnI平面闭区域、空间闭区域、曲线段或曲面)，是在x)f(在I上有定义并且有界的数量值函数。将I任意划分为n个“子块”：,,(,,,,21面积长度的度量并将inIIII。的直径记），，，（记作体积}{max,21)1iniiIλniv几何形体的直径可统一定义为该几何形体中两点之间距离的最大值).,iixI上任取一点在每个作乘积,21)(），，，（nivxfii并作黎曼和niiivxf1)(在，时，黎曼和的极限总存如果当0λ即极限值与I的取法无关，的划分方法及点ix则称此极限为函数上的积分，在几何形体Ixf)(即记作,d)(IvxfniiiλIvxfvxf10)(limd)(积分区域被积表达式被积函数当被积函数为密度函数时,五种积分表示几何形体I的质量.I是闭区间[a,b]→I是平面闭区域D→I是空间闭区域Ω→I是曲线Γ→I是曲线Σ→baxxfd)(σyxfDd),(vzyxfd),,(szyxfd),,(Szyxfd),,(被积函数为常数1时的几何含义→[a,b]的长度→D的面积→Ω的体积→Γ的弧长→Σ的面积内容小结1.定义:iiiiSζηξf),,(0limλ2.计算:,),(,),(:yxDyxyxzz则yxDyxf,,(),(yxz)221yxzzyxdd注意：利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.ni1