2018届中考数学总复习--二次函数与几何图形综合题-探究图形面积数量关系及最值等问题试题

题型专项(八)二次函数与几何图形综合题类型1探究图形面积数量关系及最值等问题1．(2017·贵港模拟)如图甲，四边形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A，D，交y轴于点C.已知A(3，0)，D(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；(2)设△AOC沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOC与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；(3)当0＜t≤32时，求S的最大值．解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－3)(x＋1)．∵将C(0，3)代入，得－3a＝3，解得a＝－1.∴y＝－x2＋2x＋3.∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴B(1，4)．(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b.∵将A(3，0)，B(1，4)代入y＝kx＋b得3k＋b＝0，k＋b＝4，解得k＝－2，b＝6，∴y＝－2x＋6.过点C作射线CF∥x轴交AB于点F.∵将y＝3代入直线AB的解析式得：－2x＋6＝3，得x＝32，∴F(32，3)．图1①当0＜t≤32时，如图1所示．设△AOC平移到△PNM的位置，PM交AB于点H，MN交AC于点G.则ON＝AP＝t，过点H作LK⊥x轴于点K，交CF于点L.由△AHP∽△FHM，得APFM＝HKHL，即t32－t＝HK3－HK.解得HK＝2t.∴S＝S△MNP－S△GNA－S△HAP＝12×3×3－12(3－t)2－12t×2t＝－32t2＋3t.图2②当32＜t≤3时，如图2所示：设△AOC平移到△PQR的位置，RQ交AB于点I，交AC于点V.∵直线AC的解析式为y＝－x＋3，直线AB的解析式为y＝－2x＋6，∴V(t，t＋3)，I(t，－2t＋6)．∴IV＝－2t＋6－(－t＋3)＝－t＋3，AQ＝3－t.∴S＝S△IVA＝12AQ·IV＝12(3－t)2＝12t2－3t＋92.综上所述，S＝－32t2＋3t（0t≤32），12t2－3t＋92（32t≤3）.(3)当0＜x≤32时，S＝－32t2＋3t＝－32(t－1)2＋32，当t＝1时，S最大＝32.2．(2017·十堰模拟)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)．(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；(2)若点P在直线x＝2上运动，当点P到直线AD的距离d等于点P到x轴的距离时，求d的值；(3)如图2，直线AC：y＝－x＋m经过点A，交y轴于点C.探究：在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得S△CDA＝2S△ACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)经过点A(－1，0)和点B(3，0)，∴a－b＋3＝0，9a＋3b＋3＝0，解得a＝－1，b＝2.∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.∴D(1，4)．(2)设P(2，yP)，过P作PE⊥AD于点E，设直线AD与直线x＝2交于点G，则PE＝d＝|yP|，直线AD的解析式为y＝2x＋2，∴G(2，6)．∴PG＝6－yP.∵sin∠AGP＝ANAG＝335，∴PEPG＝15.∴PG＝5|yP|＝5d.①若点P在第一象限，则PG＝6－d，∴5d＝6－d，解得d＝35－32.②若点P在第四象限，则PG＝6＋d，∴5d＝6＋d，解得d＝35＋32.∴d的值为35－32或35＋32.(3)∵直线AC过点A，所以可求得直线AC：y＝－x－1.过点D作DE∥AC，交y轴于点E，可求得直线DE：y＝－x＋5.∴E(0，5)．∴EC的中点F(0，2)．∴过点F平行于AC的直线为y＝－x＋2.∴y＝－x＋2，y＝－x2＋2x＋3.解得x1＝3－132，y1＝1＋132.或x2＝3＋132，y2＝1－132.(舍去)∴M(3－132，1＋132)．3．(2017·玉林模拟)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA，OC的长(OA＜OC)是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求此抛物线的解析式；(3)若点D是线段AB上的一个动点(与点A，B不重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵OA，OC的长是x2－5x＋4＝0的根，OA＜OC，∴OA＝1，OC＝4.∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴，∴A(－1，0)，C(0，－4)．∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝1，∴由对称性可得B点坐标为(3，0)．∴A，B，C三点坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－4)．(2)∵点C(0，－4)在抛物线y＝ax2＋bx＋c图象上，∴c＝－4.将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－4，得a－b－4＝0，9a＋3b－4＝0.解得a＝43，b＝－83.∴所求抛物线解析式为y＝43x2－83x－4.(3)根据题意，BD＝m，则AD＝4－m.在Rt△OBC中，BC＝OB2＋OC2＝5.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DEBC＝ADAB.∴DE＝AD·BCAB＝5（4－m）4＝20－5m4.过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF＝sin∠CBA＝OCBC＝45.∴EFDE＝45.∴EF＝45DE＝45×20－5m4＝4－m.∴S△CDE＝S△ADC－S△ADE＝12(4－m)×4－12(4－m)(4－m)＝－12m2＋2m(0＜m＜4)．∵S＝－12(m－2)2＋2，a＝－12＜0，∴当m＝2时，S有最大值2.∴点D的坐标为(1，0)．