2017年高考解答题：三角函数(理科)

试卷第1页，总2页2017年高考解答题：三角函数（理科）1．ABC的内角,,ABC的对边分别为,,,abc已知sin3cos0,27,2AAab.（1）求角A和边长c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求ABD的面积.2．𝛥𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,已知sin(𝐴+𝐶)=8sin2𝐵2．(1).求cos𝐵(2).若𝑎+𝑐=6,𝛥𝐴𝐵𝐶面积为2,求𝑏.3．在△ABC中，∠𝐴=60°，c=37a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.试卷第2页，总2页4．已知函数22fxsinxcosx23sinxcosxxR（I）求2f3的值（II）求fx的最小正周期及单调递增区间.5．设函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥−𝜋6)+sin(𝜔𝑥−𝜋2)，其中0𝜔3.已知𝑓(𝜋6)=0.（Ⅰ）求𝜔；（Ⅱ）将函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移𝜋4个单位，得到函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象，求𝑔(𝑥)在[−𝜋4,3𝜋4]上的最小值.6．已知向量a=（cosx,sinx）,3,3b,0,πx.（1）若a∥b，求x的值；（2）记fxab,求fx的最大值和最小值以及对应的x的值本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总6页2017年高考解答题：三角函数（理科）参考答案1．（1）23，4；（2）3.【解析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan3A从而可得A的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c的值；（2）先根据余弦定理求出cosC，求出CD的长，可得12CDBC，从而得到12ABDABCSS，进而可得结果.试题解析：（1）sin3cos0,tan3AAA，20,3AA，由余弦定理可得2222cosabcbcA，即21284222cc，即22240cc，解得6c（舍去）或4c，故4c.(2)2222coscbaabC，162842272cosC，22cos,72cos77ACCCDC，12CDBC，1134223222ABCSABACsinBAC，132ABDABCSS.2．（1）cosB=1517；（2）b=2.【解析】试题分析：（1）利用三角形内角和定理可知𝐴+𝐶=𝜋−𝐵，再利用诱导公式化简sin(𝐴+𝐶)，利用降幂公式化简sin2𝐵2=1−cos𝐵2，结合sin2𝐵+cos2𝐵=1即可求出cos𝐵；（2）利用（1）中结论cos𝐵=1517，结合三角形面积公式可求出𝑎𝑐的值，根据𝑎+𝑐=6，进而利用余弦定理可求出𝑏的值．试题解析：（1）由题设及𝐴+𝐵+𝐶=𝜋得sin𝐵=8sin2𝜋2，故sin𝐵=4（1-cosB）上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0解得cosB=1（舍去），cosB=1517（2）由cosB=1517得sinB=817，故𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=12a𝑐sin𝐵=417𝑎𝑐又𝑆𝛥𝐴𝐵𝐶=2，则𝑎𝑐=172本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总6页由余弦定理学科&网及a+𝑐=6得b2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=（a+𝑐）2−2𝑎𝑐(1+𝑐𝑜𝑠𝐵)=36−2×172×(1+1517)=4所以b=2.点睛:解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正余弦定理、三角形面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意𝑎+𝑐,𝑎𝑐,𝑎2+𝑐2三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．3．（Ⅰ）3√314；（Ⅱ）94√3.【解析】试题分析：(1)由题意结合正弦定理可得sinC的值是3√314(2)由题意结合同角三角函数基本关系可得sin𝐵=3√314，然后利用三角形面积公式可得△ABC的面积是94√3.试题解析：(1)根据正弦定理(2)当时,,∴中本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第3页，总6页4．（I）2；（II）fx的最小正周期是，2+k+kk63Z，.【解析】试题分析：本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。（Ⅰ）由函数概念2222222sincos23sincos33333f，计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得sinyAx，结合2T可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．试题解析：（Ⅰ）由23sin32，21cos32，22231312332222f．得223f．（Ⅱ）由22cos2cossinxxx与sin22sincosxxx得cos23sin2fxxx．2sin26x．所以fx的最小正周期是．由正弦函数的性质得3222,262kxkkZ，解得2,63kxkkZ，所以，fx的单调递增区间是2,63kkkZ，．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总6页的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．5．(1)𝜔=2.(2)−32.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到𝑦=𝑓(𝑥)=√3(sin𝜔𝑥−𝜋3)由题设知𝑓(𝜋6)=0及0𝜔3可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得𝑓(𝑥)=√3sin(2𝑥−𝜋3)从而𝑔(𝑥)=√3sin(𝑥+𝜋4−𝜋3)=√3sin(𝑥−𝜋12).根据𝑥∈[−𝜋4,3𝜋4]得到𝑥−𝜋12∈[−𝜋3,2𝜋3]，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥−𝜋6)+sin(𝜔𝑥−𝜋2)，所以𝑓(𝑥)=√32sin𝜔𝑥−12cos𝜔𝑥−cos𝜔𝑥=√32sin𝜔𝑥−32cos𝜔𝑥=√3(12sin𝜔𝑥−√32cos𝜔𝑥)=√3(sin𝜔𝑥−𝜋3)由题设知𝑓(𝜋6)=0，所以𝜔𝜋6−𝜋3=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍.故𝜔=6𝑘+2，𝑘∈𝑍，又0𝜔3，所以𝜔=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）得𝑓(𝑥)=√3sin(2𝑥−𝜋3)所以𝑔(𝑥)=√3sin(𝑥+𝜋4−𝜋3)=√3sin(𝑥−𝜋12).因为𝑥∈[−𝜋4,3𝜋4]，所以𝑥−𝜋12∈[−𝜋3,2𝜋3]，当𝑥−𝜋12=−𝜋3，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第5页，总6页即𝑥=−𝜋4时，𝑔(𝑥)取得最小值−32.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.6．（1）5π6x（2）0x时，fx取到最大值3；5π6x时，fx取到最小值23.【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3cos3sinxx，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π23cos6fxx，再根据x的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．试题解析：解：（1）因为cos,sinaxx，3,3b，a∥b，所以3cos3sinxx.若cos0x，则sin0x，与22sincos1xx矛盾，故cos0x.于是3tan3x.又0,πx，所以5π6x.（2）πcos,sin3,33cos3sin23cos6fxabxxxxx.因为0,πx，所以ππ7π,666x，从而π31cos62x.于是，当ππ66x，即0x时，fx取到最大值3；当π6x，即5π6x时，fx取到最小值23.点睛:（1）向量平行：1221abxyxy，,0,abbRab，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第6页，总6页BAACOA111OBOC；（2）向量垂直：121200ababxxyy；（3）向量加减乘：ab221212,,||,cos,xxyyaaababab．