高一数学例析求函数值域的方法

用心爱心专心例析求函数值域的方法曲靖市民族中学张小琼求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点。注意：求值域要先求定义域。虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：一、直接法：从自变量x的范围出发，推出()yfx的取值范围。例1：求函数1yx的值域。解：∵0x，∴11x，∴函数1yx的值域为[1,)。二、图像法：对于二次函数在给定区间求值域问题，一般采用图像法。例2：求函数242yxx（[1,1]x）的值域。(开口方向；区间与对称轴的关系)三、中间变量法：函数式中含有可以确定范围的代数式。例3：求函数2211xyx的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R（定义域优先原则），对函数进行变形可得2(1)(1)yxy，∵1y，（特殊情况优先原则）∴211yxy（xR，1y），∴101yy，∴11y，∴函数2211xyx的值域为{|11}yy例4：求y=525xx（1≤X≤3）的值域。解：y＝525xxx＝1255yy用心爱心专心∵1≤X≤3∴1≤1255yy≤3（怎么求解？）y∈[112,74]四、分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例5：求函数125xyx的值域。解：（此处要先求定义域）∵177(25)112222525225xxyxxx，∵72025x，∴12y，∴函数125xyx的值域为1{|}2yy。五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且0a）的函数常用此法求解。例6：求函数212yxx的值域。解：(求值域先求定义域)令12tx（0t）（引入新元要标注范围），则212tx，∴22151()24yttt（0t）（你看：没有标注范围的话这里就会出错）（再利用数形结合法）∵当12t，即38x时，max54y，无最小值。∴函数212yxx的值域为5(,]4。例7：求y＝2x－3＋x413的值域解：(求值域先求定义域)令t＝x413，则t≥0（引入新元要标注范围），且2x＝21(13－t2)y＝－21t2＋t＋27＝t－21(t－1)2＋4≤4（t≥0）（这里最好利用数形结合法）y∈（－∞，4用心爱心专心例8求函数325yxx的值域。解：函数的定义域为2,5(求值域先求定义域)，令25tx，那么0t（引入新元要标注范围），225tx222211549356555220tytttt（t≥0）（这里最好利用数形结合法）当52t即5252x也即1720x时，函数有最大值4920；函数无最小值。函数的值域为49,20。点评：对于形如()fxaxbcxd（a、b、c、d为常数，0ac）的函数，我们可以利用换元法求其值域，同时还利用了图像法。特别注意：引入新的变量时要标注其范围。例9求函数xxy21的值域分析：该题比较难处理的是根号，如果将根号x21看作是一个整体t，那么212tx，则原函数就可以写成一个二次函数的形式，用配方法就可以求出其值域。解：(求值域先求定义域)令tx21，则212tx（0t）于是原函数变为,1)1(212122ttty,0t（再利用数形结合法）1y，即值域为1,。[评注]形如dcxbaxy的函数均可用此法（换元、图像）求值域。用心爱心专心六、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程(,)0Fxy；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如21112222axbxcyaxbxc（1a、2a不同时为零且定义域为xR）的函数的值域，常用此方法求解。例10：求函数2231xxyxx的值域。解：定义域为：∵xR由2231xxyxx变形得2(1)(1)30yxyxy，当1y时，此方程无解；（特殊情况优先）当1y时，∵xR说明方程至少有解，∴2(1)4(1)(3)0yyy，解得1113y，又1y，∴1113y∴函数2231xxyxx的值域为11{|1}3yy例11：求y＝5442xx的值域。例12：求函数225851xxyx的值域。解：定义域为：∵xR说明方程至少有解225851xxyx可化为2(5)8(5)0yxxy当50y即5y时，方程在实数范围内有唯一解0x；当50y即5y时，xR，0，即25064450yy用心爱心专心解得19y，函数的值域为1,9例13.求y=2222xxx的值域。分析：定义域为：∵xR原函数解析式变为：(y+1)x2-x+2y+2=0,当y=-1时，x=0成立；当y≠-1时，此方程的判别式△≥0解出y∈[-1-24,-1+24]。点评：（1）此法适用22(axbxcyamxnxp≠0）型的函数；（2）在解题过程中注意对二次项系数是否零的讨论；（3）有两种情况不采用此法。(一是X有限制；二是分子分母有公因式)七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例14：求函数12yxx的值域。解：(求值域先求定义域)∵当x增大时，12x随x的增大而减少，12x随x的增大而增大，∴函数12yxx在定义域1(,]2上是增函数。∴11112222y，∴函数12yxx的值域为1(,]2。八、数形结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。例15：求函数|3||5|yxx的值域。解：∵22|3||5|822xyxxx(3)(35)(5)xxx，∴|3||5|yxx的图像如图所示，由图像知：函数|3||5|yxx的值域为[8,)85-3oyx用心爱心专心例16：求函数|3||5|yxx的值域。(还记得以上两题的结论吗？)九、反函数法（利用原函数与反函数的关系求解）。二次函数训练题一、实际应用题1、某超市为了获取最大利润做了一番试验，将进货单价为8元的商品按10元一件出售时，每天可销售60件，现在采用提高售价减少进货量的办法来增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少元时，才能赚得最大利润，并求出最大利润。2、某工厂计划出售一种产品，经销人员并不是根据生产成本来确定这种产品的价格，而是经过对经营产品的零售商对于不同的价格情况下他们会进多少货进行调查，通过调查确定了关系式15000750xP，其中p是零售商进货的数量，x为零售商愿意支付的每件价格，现估计这种产品生产一件的材料和劳动生产成本费用为4元，并且工厂生产这种产品的总固定成本为7000元（固定成本是除材料和劳动费用外的其它费用）。为获得最大利润，工厂应对零售商每件收取多少元？3、（2003北京高考题）某租赁公司拥有汽车100辆，每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加1辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆需要维护费50元。（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？二、求出区间上的最大值或最小值。（最值、值域问题）1、定区间动轴问题（1）求函数2,0,12)(2xaxxxf的最大值)(aM与最小值)(am的表达式。（2）已知函数aaxxxf12)(2在1,0时有最大值2，求a的值。（3）已知函数32)(2xxxf在区间m,0上有最大值3，最小值2，求m得取值范围。（4）已知,131a若12)(2xaxxf在3,1上的最大值为)(aM最小值为)(aN，另)()()(aNaMag。①求)(ag的函数表达式；②判断函数)(ag的单调性，并求出)(ag的最小值。2、动区间定轴求最大值或最小值。已知函数1,,44)(2ttxxxxf，求)(xf的最小值)(t的表达式用心爱心专心二次函数训练题答案1、某超市为了获取最大利润做了一番试验，将进货单价为8元的商品按10元一件出售时，每天可销售60件，现在采用提高售价减少进货量的办法来增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少元时，才能赚得最大利润，并求出最大利润。)10(160)12(10)10(1060)8(2xxxxy2、某工厂计划出售一种产品，经销人员并不是根据生产成本来确定这种产品的价格，而是经过对经营产品的零售商对于不同的价格情况下他们会进多少货进行调查，通过调查确定了关系式15000750xP，其中p是零售商进货的数量，x为零售商愿意支付的每件价格，现估计这种产品生产一件的材料和劳动生产成本费用为4元，并且工厂生产这种产品的总固定成本为7000元（固定成本是除材料和劳动费用外的其它费用）。为获得最大利润，工厂应对零售商每件收取多少元？)0(41000)12(7507000)15000750)(4(7000)4(2xxxxPxy3、（2003北京高考题）某租赁公司拥有汽车100辆，每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加1辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆需要维护费50元。（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600所以这时租出了88辆车.…………4分（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为50503000)150)(503000100()(xxxxf，…………8分整理得307050)4050(5012100016250)(22xxxxf.所以，当x=4050时，)(xf最大，最大值为307050)4050(f，…………11分答：当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元4、已知二次函数bxaxxf2)(满足,0)2(f且方程xxf)(有等根。（1）求)(xf的解析式；用心爱心专心（2）求)(xf的值域；（3）是否存在实数m、)(nmn，使得)(xf的定义域和值域分别为[m，]n和m4[，4n].若存在，求出m、n的值；若不存在，请说明理由。解：（1）2(),(2)0fxaxbxf420ab即02ba又xxf)(即0)1(2xbax有等根00)1(2b即11,.2baxxxf221)(……4分（2）221111()(1)2222fxxxx函数)(xf的值域为（－∞，21]……7分（3）设有实数m、n)(nm使)(xf定义域为[m,n]，值域为[4m,4n]当8121421)(,1maxnnxfx即时……10分],[)(nmxf在上是增函数，则nnfmmf4)(4)(……12分06mm或06nn或二、求出区间上的最大值或最小值。1、定区间动轴问题（1）求函数2,0,12)(2xaxxxf的最大值)(aM与最小值)(am的表达式。