必修1函数的值域及其求法

必修1复习专题函数之二(值域)吴川三中文科数学出版一相关概念1、值域：函数Axxfy，)(，我们把函数值的集合}/)({Axxf称为函数的值域。2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。二确定函数值域的原则1、当函数)(xfy用表格给出时，函数的值域指表格中实数y的集合；x0123y=f(x)1234则值域为{1，2，3，4}2、数)(xfy的图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；3、数)(xfy用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。三基本函数的值域1、一次函数）（0abkxy的值域为R；2、二次函数）（02acbxaxy；]44(0);44[022abac，，a，abac，a值域是时值域是时3、反比例函数)0(kxky的值域为}0/{yy；4、数函数)10(aaayx且的值域为}0/{yy；5、对数函数)10(logaaxya且的值域为R。6，函数y=sinx、y=cosx的值域是1,1四求函数值域的方法1、观察法：“直线类，反比例函数类”用此方法；2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域；例1.]53(232，求函数xxxy的值域；解：1223)61(32322xxxy＝求函数画出图像（图略）从图可知,.721223)615(35;1223612maxmin，yx，yx时时所以此函数的值域为]721223[，.例2.求562xxy函数的值域；解：设;0562，则xx;44)3(5622xxx.400，又].2,0[],2,0[值域为３、换元法：形如常用换元法求值域的函数且为常数、、、)0(a，dcbadcxbaxy；2例3.求函数xxy142的值域解：设2101txxt则,44)1(224222ttty,4,值域为.4、判别式法：形如域的函数用判别式法求值不同时为零，)(2122221121aacxbxacxbxay；例4求函数xxy1的值域；解：011122yxxxxxxy要上面的方程有实数根，04114)(22yy求出12yy或,所以函数的值域为).,2[]2,(５、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。形如)0(abaxdcxy的函数用反函数法求值域；例求函数y=6543xx值域。６、分离常数法：形如)0(abaxdcxy的函数也可用此法求值域；例5求函数213xxy的值域；解：方法一：（反函数法）求出函数213xxy的反函数为312xxy，其定义域为}3/{xRxx且，所以原函数的值域为}3/{yRyy且方法二：（分离常数法）,27327)2(3213xxxxxy.3273,027xx}.3/{213yRyyxxy且的值域为７、函数有界性法(通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容)直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数y=11xxee，2sin11siny，的值域８、数形结合法。例6求函数的值域|4||1|xxy（方法一可用到图象法）方法二：（单调性）为减函数时32,4xyx;53)4(2y为增函数时当32,1xyx;5312y;514，yx时当所以此函数的值域为，5注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。一．回顾与应用1．若函数y=f(x)的值域是[-2，3]，则函数y=∣f(x)∣的值域是（）A．[-2，3]B．[2，3]C．[0，2]D．[0，3]2．函数y=log0.3(x2+4x+5)的值域是.3．函数844)(2xxxf的值域为．4．定义域为R的函数y=f(x)的值域为[a，b]，则f(x+a)的值域为（）3A．[2a，a+b]B．[0，b-a]C．[a，b]D．[-a，a+b]5．若函数f(x)=x21log2的值域是[-1，1]，则函数f–1(x)的值域是（）A]2,22[B[-1,1]C]2,21[D),2[]22,(6．函数y=x+2x-1的值域是（）A．{y|y≥12}B．{y|y≤12}C．{y|y≥0}D．{y|y≤0}二．题型举例1．求下列函数的值域：（1）122xxxxy（2）xxy212．已知x1、x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(kR)的两个实根，求x12+x22的最大值。3．已知函数862mmxmxy的定义域为R.(1)求实数m的取值范围。（2）当m变化时，若y的最小值为f(m)，求f(m)的值域。三．课后练习1．函数523xxy的值域是；．函数523xxy)0(x的值域是。2．函数y=-x(x+2)(x0)的反函数的定义域是。3．若函数)2(log221kkxxy的值域为R，则k的取值范围是（）A0k1B0k1Ck0或k1Dk=0或k14．若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m]，值域为]4,425[，则m的取值范围是（）A]4,0(B]4,23[C]3,23[D),23(5．求下列函数的值域：（1）11xxeey（2）xxy246．若函数23212xxy的定义域和值域都是[1,b](b1)，求b的值。47．已知函数f(x)=1-2ax-a2x(a1)。（1）求f(x)的值域。（2）若x[-2,1]时，函数的最小值为-7，求a及f(x)的最大值。答案参考1．D2.]0,(3.[0，3]4.C5.A提示：反函数的值域是原函数的定义域；令1log2121x，求x。6．A二．1．求下列函数的值域：解：（1）43)21(112xy，而4343)21(2x，所以3443)21(102x143)21(11312x；所以函数的值域是)1,31[（2）1]1212)21[(212121)21(21xxxxy=211211)121(212x，所以函数的值域是]21,(。2．解：令=（k-2）2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-160，得344k。x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3x+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19因为344k，所以9121)5(12k；-(k+5)2+1919-1=18。故x12+x22的最大值是18。3．解：（1）m=0满足条件。当m0时，令0)8(43602mmmm解得0m1，所以m的取值范围是[0，1]。（2）mxmmxxmy88)3(88)96(22所以f(m)=)10(88mm；22)(0mf。故f(m)的值域为[0，22]。三．课后练习1.}21,|{yRyy]53,21(2.]0,(3.C4．C解：f(0)=-4，f(23)=425，f(3)=f(0)，所以m]3,23[5.解：（1）2120,121xxeey；所以-1y1。即函数的值域是（-1，1）法二：y(ex+1)=ex-1，ex(y-1)=-y-1；yyex11，又ex0；从而解得。（2）2)22(6224)2(2xxxy；函数的值域是]2,(。5法二：xy221'〉0，所以函数y是]2,(上的增函数，当x=2时，y有最大值2，从而得结论。6．解：1)1(212xy，y在[1，b]上为增函数，f(1)=1，f(b)=b；所以bb1)1(212；解得：b=1(舍去)、b=3。所以b=37．解：（1）f(x)=-(ax+1)2+21；所以f(x)的值域是)1,(。（2）f/(x)0，所以f(x)为R上的减函数，所以f(1)=-7；即-（a+1）2+2=-7；a=2.f(-2)=-(2–2+1)2+2=167。所以a=2，f(x)的最大值是167。必修1复习专题之函数(定义域解析式分段函数)----------答案【你会做哪些】1．π+12．D3．-44．B5．D6．B7.解析：本题路程S与时间t的关系有3种情况，应分3个时间段处理．答案：.5.105.65.6550)5.6(6526026052,,,,,tttttS8.184或－69.3a10.V＝2)2(xax－｛x｜0＜x＜a/2｝【训练反馈】1．B2．A3．C4．D5．B6．D7．{x|-1≤x＜8}8．（0，5]9．y=.43,4,32,106,21,22,10,22xxxxxxxxxx10．提示：若k=0，则函数的定义域为R；若k≠0，则对任意x∈R，kx2+4kx+3≠0，从而，△＜0，解得0＜k＜34．从而所求k的取值范围为{k|0≤k＜34}．12．（1）f(1)=0，f(4)=2；（2）增函数；（3）3＜x≤4．补充专题1----如何求复合函数的定义域？如：函数的定义域是，，，则函数的定fxabbaF(xfxfx())()()0义域是_____________。（答：，）aa复合函数定义域的求法：已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解出x的范围，即为)(xgfy的定义域。例若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为。分析：由函数)(xfy的定义域为2,21可知：221x；所以)(log2xfy中有2log212x。解：依题意知：2log212x解之，得42x∴)(log2xf的定义域为42|xx补充专题二-----映射的扩展【知识在线】1．对于映射f：A→B，下列说法正确的是（）6A．A中某一元素的象可以不止一个B．B中某一元素的原象可以不止一个C．A中两个不同元素的象必不相同D．B中两个不同元素的原象可能相同2．设集合A={a，b，c}，B={m，n，p}，那么从集合A到B可以建立个一一映射．3．已知A=B=R，x∈A，y∈B，且f：x→y=ax+b，若5和20的原象分别是5和10，则7在f下的象为．4．下列函数中，表示同一函数的是（）A．f(x)=1，g(x)=x°B．f(x)=x+1，g(x)=x2-1x-1C．f(x)=x2，g(x)=|x|D．f(x)=x，g(x)=(x)2【讲练平台】例1在对应法则“f”下，给出下列从集合A到集合B的对应：（1）A=N，B=R，f：x→y=x1；（2）A=N，B=Z，f：x→y=x)1(；（3）A={x∣x是平面内的三角形}，B={y∣y是平面内的圆}，f：x→y是x的外接圆．其中能构成映射的是（）A．（1）、（2）B．（1）、（3）C．（2）、（3）D．（2）分析判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f下，对于集合A中的任一．．元素在B中是否都有唯一．．的象．解在（1）中，元素“0”在B中没有象，不满足“任意性”，故不能构成映射．在（2）中，当x为偶数时，其象为1；当x为奇数时，其象为-1，而1，-1∈B，即A中任一元素在B中都有唯一的象．在（