函数的值域求法集锦

函数的值域题型一：二次函数的值域例1．求6a)(2xxxf的值域解答：配方法：4a64a62a6a)(2222xxxxf所以值域为，4a62例2．求6)(2xxxf在11，上的值域解答：函数图像法：423216)(22xxxxf画出函数的图像可知，,6)(2xxxf在21x时取到最小值423，而在1x时取到最大值8，可得值域为8423，。例3．求6a)(2xxxf在11，上的值域解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a的取值有关，所以进行分类讨论：①当2a时，对称轴在1x的左侧，所以根据图像可知，a7)1(maxff，a7)1(minff所以此时的值域为a7a7，②当0a2时，对称轴在1x与y轴之间，所以根据图像可知，a7)1(maxff，4a6)2a(2minff所以此时的值域为a74a62，③当2a0时，对称轴在y轴与1x之间，所以根据图像可知，a7)1(maxff，4a6)2a(2minff所以此时的值域为a74a62，④当a2时，对称轴在1x的右侧，所以根据图像可知，a7)1(maxff，a7)1(minff所以此时的值域为a7a7，题型二：指数、对数函数的值域例4．求62log)(22xxxf的值域解答：复合形式用换元：令622xxt，则由例1可知，,5t根据单调性，可求出t2log的值域为,5log2例5．求624)(1xxxf的值域解答：因为224xx，所以，采用换元发，令xt2，则,0t则原函数变为622tt，可以根据二次函数值域的求法得到值域为,6题型三：分式函数的值域例6．求函数132)(xxxf的值域解法一：分离变量法，将分式中分子部分的变量分离出去。则可以换元，令1xt，原函数变为ttt1212，由反比例函数的性质可知，值域为,22,解法二：反函数法，利用原函数的值域就是反函数的定义域，来求值域。令132)(xxxfy，则32xyyx，得到23yyx，可知2y解法三：解析几何法。考虑数形结合，联想到分式2121xxyy表示两点间连线的斜率，则讲原函数写为132xx，可以看成是xx2,,3,1两点连线的斜率，其中xx2,是动点，构成xy2直线轨迹，则连线必须与xy2相交，所以连线斜率不能是2，得到值域。例7．求函数132)(xxxf在10，的值域解法一：分离变量之后采用函数图像法，令1xt，2,1t，原函数变为ttt1212，可以画出t12的图像，或者根据单调性直接可以得到值域为325，解法二：反函数法，将23yyx代入10，中，求解1230yy不等式，可以得到值域范围325，。解法三：解析几何法。132xx，可以看成是xx2,,3,1两点连线的斜率，其中xx2,是动点，不在构成直线，而是构成xy2在10，区间的线段，画出图像后观察可得斜率的范围为325，例8．求函数133)(2xxxxf的值域解法一：分离变量法，令1xt，原函数变为1112ttttt由均值不等式可知当21,0ttt，当21,0ttt，可以得到原函数的值域为,31,解法二：判别式法，令133)(2xxxxfy，则332xxyyx，整理得关于x的一元二次方程0332yxyx，满足方程有解，该方程的判别式03432yy可得31yy或,即函数的值域为,31,解法三：解析几何法，)1(033133)(22xxxxxxxf，可以看成是两点0,1,33,2xxx之间连线的斜率，而33,2xxx是动点，恰好构成332xxy的轨迹，由图像可以看出，连线斜率的范围从而得到函数的值域。例9．求函数133)(2xxxxf在10，的值域解答：此题限制了定义域，导致判别式法失效，采用分离变量法，画出函数图像来求函数的值域。令1xt，2,1t，原函数变为1112ttttt画出对勾函数的图像，可以得到tt1的值域范围是252，，则最后函数的值域为273，题型四：三角函数的值域例10．求函数2cos4sin3)(xxxf的值域解答：使用辅助角公式，2sin52cos4sin3)(xxxxf，可知函数的值域为73，例11．求函数2cos4sin23)(2xxxf的值域解答：先化简，都转为一次三角函数后使用辅助角公式，42sin13222cos22sin32cos4sin23)(2xxxxxxf可知函数的值域为134134，例12．求函数2cos4cos2)(xxxf的值域解答：先化为同角的三角函数，再换元为二次函数求解值域。1cos4cos22cos41cos22cos4cos2)(22xxxxxxxf令1,1,costxt，则原函数化为11214222ttt，则按前面的例题可得函数的值域为31，，例13．求函数xxxxfsin2cos2sin2)(的值域解答：利用2cossin121cossincossin22xxxxxx来换元。xxxxxxxxfcossin2cossin1cossin2cossin2)(2令2,2,cossintxxt，则原函数化为122tt，同理，按二次函数的值域求法，可得结果221，。例14．求函数3cossin)(xxxf的值域解法一：辅助角公式法。类似于二次分式的判别式法，令3cossinxxy，则可得xyxyxyxycossin3,sin3cos，利用辅助角公式后xyyxyysin13,sin1322，则要求1132yy，可解出值域范围2222，解法二：解析几何法。三角分式也可以看为3cos0sinxx，即两点xxsin,cos,0,3连线的斜率，其中xxsin,cos是动点，构成的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆，根据图像可知，连线与圆相切时分别取到最大值和最小值，可得函数的值域2222，例15．求函数3cossin)(xxxf在22，上的值域解答：此时无法使用辅助角公式法，只能用解析几何法，动点xxsin,cos构成的轨迹为右半圆，这样，可得结果3333，题型五：绝对值函数的值域例16．求函数15)(xxxf的值域解法一：零点分类讨论法。当1x时，6)(xf；当5x时，6)(xf；当15x时，42)(xxf。所以函数的值域为66，解法二：利用绝对值的几何意义，画出数轴，15xx与分别表示x到-5与1的距离，根据数轴图像，可以直接得到值域为66，例17．求函数322)(22xxxxxf的值域解答：零点分类法将十分麻烦，利用换元法，令,1,22txxt，则原函数化为3tt，则根据数轴法，可以得到函数的值域为33，题型六：根式函数的值域例18．求函数xxxf1)(的值域解法一：换元法，令,0,1txt，则原函数化为12tt，根据二次函数值域的求法，可得原函数值域为,45。解法二：解析几何法，令,0,1yxy，yxxfz)(，可得zxy，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过,0,1yxy上的点，画出图像可知相切时截距最小，可得函数的值域,45例19．求函数xxxf1)(的值域解法一解法二同上一例题，注意换元时的等价性，结果,1解法三：单调性法，题目中函数为单调递增，根据函数的定义域,1，代入可得函数的值域,1。例20．求函数21)(xxxf的值域解法一：三角换元法，令2,2,sinx，这样换元既可以保证换元的等价性，同时可以使得开方后的表达式去掉绝对值符号，4sin2cossincossinsin1sin122xx注意2,2，画出三角函数图像可得值域为2,1。解法二：解析几何法，令1,0,12yxy，yxxfz)(，可得zxy，即函数的值可以看成是直线的截距，而直线必须通过1,0,12yxy，通过作图可以得到截距的范围，也就是函数的值域2,1例21．求函数212)(xxxf的值域解法一：三角换元，类似于上一道题，令2,2,tanx，这样可以得到cos2sincos2tantan12tan1222xx，化为三角分式，在利用解析几何法将其转化为两点的斜率可以做出图像得到值域为,3解法二：解析几何法，类似于上一道题，令,1,12yxy，yxxfz2)(，可得2zxy，即函数的值可以看成是直线的截距的2倍，而直线必须通过,1,12yxy即双曲线的上半支，通过作图可知相切时取得截距的最小值，得到值域,3。解法三：对勾换元法，利用121221222xxxx进行换元，令,0,212tttx，则原函数化为tttttt21232122212，根据均值不等式可得值域,3例22．求函数25652)(22xxxxxf的值域解答：先配方，可得22224321)(xxxf，利用解析几何法，类比两点距离公式可以转化为0,x到4,3,2,1两点距离和，作图在利用两点间线段距离最短可以得到函数值域为,102。部分练习求下列函数的值域：1.2x2x-)(2xf2.6x4xlog)(221xf3.1)(22xxxxxf4.13213)(xxxf5.x-1x3131)(xf6.1cosx7cosx6x2cos)(xf7.2cos2sin)(xxxf8.6sin2cos2)(xxxf9．9612)(22xxxxxf10.xxxf243)(11.xxxxf22)(212.xxxf11)(13．1)(2xxxf