弹性力学-用差分法和变分法解平面问题

用差分法和变分法解平面问题第五章合肥工业大学本科生教学《弹性力学》主讲教师：袁海平(副教授、博士后)一、差分公式的推导二、弹性体的形变势能和外力势能三、位移变分方程四、位移变分法五、位移变分法例题第五章用差分法和变分法解平面问题内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学用差分法和变分法解平面问题3弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解，得出函数表示的精确解答。对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要有差分法、变分法和有限单元法。差分公式的推导一弹性力学用差分法和变分法解平面问题4fxo21ff3f1x2x3x)(xf21,ff差分法是微分方程的一种数值解法，它不是去求解函数f(x)，而是求函数在一些结点上的值。;dd1212xxffxfxf将导数用有限差商来代替将微分用有限差分来代替将微分方程用差分方程（代数方程）代替，求解微分方程问题化为求解差分方程问题。差分公式的推导一12xxxdx12fffdf弹性力学用差分法和变分法解平面问题5在弹性体上，用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格。设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数，该函数在平行于x轴的一根网线上，如在3-０-１上，它只随x坐标的改变而变化。在邻近结点０处，函数f可展为泰勒级数如下：...)(!31)(!21)(3003320022000xxxfxxxfxxxfff差分公式的推导一(a)弹性力学用差分法和变分法解平面问题6只考虑离开结点０充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：20022000)(!21)(xxxfxxxfff在结点３，x=x0-h；在结点1，x=x0+h。代入(b)得：02220032xfhxfhff02220012xfhxfhff联立（c）、（d），解得差分公式：130(1)2fffxh21302202(2)ffffxh差分公式的推导一(b)(c)(d)弹性力学用差分法和变分法解平面问题7同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：2402240220(3)22(4)fffyhffffyh以上（１）—（４）是基本差分公式，从而可导出其它的差分公式如下：22136857001[()()](5)24ffyyffffffxyxyhh差分公式的推导一弹性力学用差分法和变分法解平面问题8)]()(46[1)6()]()(24[1)]()(46[112104204044876543210402241193104044fffffhyffffffffffhyxffffffhxf差分公式(１)及(３)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在无法应用前者时才不得不应用后者。差分公式的推导一一、差分公式的推导二、弹性体的形变势能和外力势能三、位移变分方程四、位移变分法五、位移变分法例题第五章用差分法和变分法解平面问题内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学用差分法和变分法解平面问题10弹性力学变分法，因其泛函就是弹性体的能量（如形变势能、外力势能），又称为能量法。泛函－－是以函数为自变量的一类函数。变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。弹性体的形变势能和外力势能二弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法，分为：位移变分法：取位移函数为自变量，并以势能极小值条件导出变分方程。应力变分法：取应力函数为自变量，并以余能极小值条件导出变分方程。弹性力学用差分法和变分法解平面问题11（2）因应力和应变均从0增长到，故单位体积上，应力所做的功是非线性关系－－线性关系－－,σ~σ~σ,d01σU.211σU（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，可看成是作用于微小单元上的“外力”。１、应力的功和形变势能（内力势能）弹性体的形变势能和外力势能二弹性力学用差分法和变分法解平面问题12εσεσ线性的应力与应变关系非线性的应力与应变关系弹性体的形变势能和外力势能二１、应力的功和形变势能（内力势能）弹性力学用差分法和变分法解平面问题13（3）对于平面应力问题或平面应变问题单位体积上应力所做的功都是)0(zyzxzττσ),0(zyzxzγγε(c)弹性体的形变势能和外力势能二１、应力的功和形变势能（内力势能）zxzxyzyzxyxyzzyyxxU211xyxyyyxxU211弹性力学用差分法和变分法解平面问题141U弹性体的形变势能和外力势能二１、应力的功和形变势能（内力势能）（4）假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部转化为弹性体的内力势能，又称为形变势能，或应变能，存贮于物体内部。--单位体积的形变势能（形变势能密度）。（5）整个弹性体的形变势能.dd)(21dd1AxyxyyyxxAyxγτεσεσyxUU(d)弹性力学用差分法和变分法解平面问题15（6）将物理方程代入，平面应力问题的形变势能密度，可用形变表示为对于平面应变问题，将222121(2).(e)2(1)2xyxyxyEU21EE变为，.1变为1U1U22121()()2().(f)221EuvuvμvuUμxyxyxyμ再将几何方程代入，可用位移表示为1UUdxdy整个弹性体的形变势能为弹性体的形变势能和外力势能二１、应力的功和形变势能（内力势能）(5-16)弹性力学用差分法和变分法解平面问题16（1）U是应变或位移的二次泛函，故不能应用叠加原理。（2）应变或位移发生时，U总是正的，即（3）U的大小与受力次序无关。（4）对应变的导数，等于对应的应力：.0U.,,111xyxyyyxxUσUσU1U(5-15)弹性体的形变势能和外力势能二2、形变势能Ｕ的性质弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，等于相应的应力分量。弹性力学用差分法和变分法解平面问题17外力势能─外力做了功，必然消耗了相同值的势能。当取时的外力功和能为零，则：()dd()d.(a)σxyxyAsWfufvxyfufvs0vuWV.d)(dd)(σsyxAyxsvfufyxvfuf(b)外力功：弹性体的形变势能和外力势能二3、弹性体上的外力功和外力势能弹性力学用差分法和变分法解平面问题18•弹性体的总势能，是外力势能和内力（形变）势能之和，.pVUE(h)弹性体的形变势能和外力势能二4、弹性体的总势能弹性力学用差分法和变分法解平面问题19弹性体的形变势能和外力势能二例题1试证明，在同样的应变分量下，平面应变情况下单位厚度的形变势能大于平面应力情况下的形变势能。xyyx,,对于平面应变情况，只需将上式中，变换为22221(3).221xyxyxyAEUdxdy2,.(b)1EμEμμ1μE解：平面应力情况下，单位厚度的形变势能：(a)弹性力学用差分法和变分法解平面问题20•代入，得显然，方括号内将式(a)中的，都作为式(b)的变换，整理后得平面应变情况下的形变势能公式，222222211()()[]()[],111121EEE推出.1]211[2μμAyxEU)(21)1([12222.]21)211(22dxdyxyyxE(c)弹性体的形变势能和外力势能二弹性力学用差分法和变分法解平面问题21•从式(c)可见，在平面应变情况下，形变势能中的第1，2，3项均大于平面应力情况下的值，而第4项不变。因此，平面应变的形变势能大于平面应力的形变势能U。2xyγ2μ1UU弹性体的形变势能和外力势能二弹性力学用差分法和变分法解平面问题22lCDEFAB弹性体的形变势能和外力势能二例题2图示一板块，在铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并使之两端固定下来，若在其中切开一小口AB时，试说明板的形变势能将发生什么变化？解：⑴当AB线切开时，AB线上的应力趋于0，而形变势能是正定，，当应力时，相应的形变势能也失去。因此，板的总的形变势能减少。0U0趋近于弹性力学用差分法和变分法解平面问题23弹性体的形变势能和外力势能二⑵当AB线切开后，边界CD和EF仍是固定的，我们可以比较两种状态：AB切开后，AB线仍然处于闭合状态，不发生张开，这是不稳定的平衡状态。AB线张开，出现裂纹，这是稳定的平衡状态。由于系统的稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值，而(a)，(b)两种状态的外力势能不变，因此，(b)的形变势能小于(a)，即形变势能将减少。一、差分公式的推导二、弹性体的形变势能和外力势能三、位移变分方程四、位移变分法五、位移变分法例题第五章用差分法和变分法解平面问题内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学用差分法和变分法解平面问题251.实际平衡状态的位移，，必须满足⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）;⑵用位移表示的应力边界条件（在上);⑶位移边界条件（在上）。usσsuv(a)其中⑴，⑵属于静力平衡条件，⑶属于约束条件。对于实际位移，可将⑶看成是必要条件，而⑴，⑵是充分条件。位移变分方程三弹性力学用差分法和变分法解平面问题26（在上）。•2.虚位移状态⑴虚位移（数学上称为位移变分），表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，虚位移应满足上的约束边界条件，即,v,0vu(b)ususu位移变分方程三弹性力学用差分法和变分法解平面问题27•虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。因此，虚位移状态就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。,,**vvvuuu(c)位移变分方程三弹性力学用差分法和变分法解平面问题28.dddyyuxxuu(d)⑵变分与微分的比较位移变分方程三微分－－是在同一状态下，研究由于位置(坐标)改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量x,y，而因变量为函数，如位移，有变分－－是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如，，，有UVpE.vvUuuUU(e)弹性力学用差分法和变分法解平面问题29由于微分和变分都是微量，所以a.它们的运算方式相同，如式(d)，(e)；b.变分和微分可以交换次序，如).()(uxxu(f)位移变分方程三弹性力学用差分法和变分法解平面问题30当发生虚位移（位移变分）时，()dd()d.(g)yxyxAsWfufvxyfu