弹性力学课件第六讲-空间问题的解答

第六讲空间问题的解答本讲将介绍空间问题求解的基本方法－按位移求解和按应力求解。主要内容如下：1、按位移求解空间问题；2、按位移求解空间问题的应用（半空间体受重力和均布压力、半空间体在边界上受法向集中力）；3、按应力法求解空间问题；本讲学习指南本章学习指南弹性力学一般空间问题的未知数为15个：6个应力分量、6个应变分量、3个位移分量。基本方程数为15个，此外还有边界条件和变形协调方程。空间问题与平面问题具有相似性：基本未知数、基本方程、边界条件和求解方法均是类似的；空间问题的两种基本解法（按位移和按应力）与平面问题相比，在思路和步骤上极其相似，可参照平面问题来学习和理解；对于空间问题，位移法比应力法更重要。它能适用于各种边界条件，并且基本未知函数数目相对更少；按位移求解空间问题半空间体受重力和均布压力半空间体在边界上受法向集中按应力求解空间问题主要内容§6.1按位移求解空间问题按位移求解：以3个位移分量为基本未知函数，从15个基本方程和边界条件中消去应力分量和应变分量，导出只含3个位移分量的基本微分方程和边界条件，由此解出位移分量。然后根据几何方程和物理方程求应变分量和应力分量。按位移求解空间问题＿具体过程以3个位移分量为基本未知函数。为了消元，其它12个未知函数须用3个位移分量表示；1、应变用位移表示：直接采用几何方程；2、应力用位移表示：将几何方程代入用应变表示的物理方程，得到用位移表示的物理方程；3、求解位移的最基本方程：将上述弹性方程代入平衡微分方程，可得用位移表示的平衡微分方程，它是按位移求解的最基本方程；4、边界条件用位移表示：代入应力边界条件，得到用位移表示的应力边界条件；对于位移边界条件，其形式不变；按位移求解空间问题＿总结（1）使位移分量在区域内满足用位移表示的平衡微分方程；（2）同时在边界上满足用位移表示的应力边界条件或位移边界条件。上述条件也是位移解的校核条件。求解出位移分量后，代入几何方程求应变分量，也可以进一步求应力分量。空间问题按位移求解的方法，位移满足条件为：按位移求解空间问题＿总结总之，其位移满足条件为：（1）在区域内满足平衡微分方程；（2）在边界上满足用位移表示的应力边界条件或位移边界条件。上述条件也是位移解的校核条件。求解出位移分量后，代入几何方程求应变分量，进而求出应力分量。空间轴对称问题按位移求解：此类问题基本方程和基本未知函数都简化为10个。按位移求解的推导过程与上面完全相同，只不过方程的个数及具体形式不同。并且，其边界面多为坐标面，边界条件相对简单。按位移求解空间问题半空间体受重力和均布压力半空间体在边界上受法向集中按应力求解空间问题主要内容§6.2半空间体受重力和均布压力如图所示，有半空间体，密度为r，在水平边界上均布压力q。显然，它属于空间问题。坐标系如图所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函数为三个位移分量，必须满足：（1）在区域内满足用位移表示的平衡微分方程；（2）同时在边界上满足用位移表示的应力边界条件或位移边界条件。半空间体受重力和均布压力1、如图可知，该问题具有对称性，任何x和y面均为对称面，而x和y向的位移本身不对称于任意垂直平面，故可作如下假设：2、将上述位移代入用位移表示的平衡微分方程，前两式自然满足，第三式经整理后成为如下的常微分方程：)(,0zwwvugEdzwdr)1()21)(1(22积分得：BAzgEzw2)()1(2)21)(1()(r半空间体受重力和均布压力3、求应力分量：将所求得的位移代入用位移表示的物理方程，整理得：为了求得常数B，必须利用位移边界条件。为此假定半空间体在距边界为h处没有位移，即有如下位移边界条件：4、由边界条件确定选定常数A和B0),(),(1yzxzxyzyxAzgAzgrr代入可解得常数A：gqAr0hzw由此解得常数B，进而求得所有的应力分量、应变分量、位移分量。qzz0)(上边界面上的边界条件为：按位移求解空间问题半空间体受重力和均布压力半空间体在边界上受法向集中按应力求解空间问题主要内容§6.3半空间体在边界上受法向集中力如图所示，有半空间体，体力不计，在水平边界上受法向集中力F。显然，它属于空间轴对称问题，其对称轴就是集中力的作用线。坐标系如图所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函数只有两个位移分量，且与环向坐标j无关，只是径向坐标r和轴向坐标z的函数。它们必须满足：1、在区域内满足用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程；半空间体在边界上受法向集中力由于集中力作用在原点，本题的边界条件应分为两部分考虑：（1）不包含原点，则在r≠0，z=0的边界面上，没有任何法向和切向面力作用，因而应力边界条件为2、在边界上满足如下边界条件：（2）在原点附近，可以看成是一局部的小边界面。在此小边界处有面力的作用，而面力可以向原点静力等效为作用于原点的主失量为F，主矩为0的情形。按照圣维南原理来进行处理，取一个0到z的平板脱离体，考虑其静力平衡条件，得到一个平衡方程；由于轴对称，其余平衡条件自然满足。3、解答：见教材的公式P82。0,00,00,0rrrzzzz半空间体在边界上受法向集中力上述解答其应力分布特征如下：1、在离开集中力作用点非常远处，应力非常小；在靠近集中力作用点处，应力非常大。2、水平截面上的应力与弹性参数无关，因而在任何材料的弹性体中都是同样分布。其它截面上的应力一般都随泊松比而变。3、水平截面上的全应力都指向集中力的作用点。利用上述半空间体在边界上受法向集中力时的解答，根据叠加原理，可求得由法向分布力所引起的位移和应力解答。按位移求解空间问题半空间体受重力和均布压力半空间体在边界上受法向集中按应力求解空间问题主要内容§6.4按应力求解空间问题按应力求解：以6个应力分量为基本未知函数，从15个基本方程和边界条件中消去位移分量和应变分量，导出只含6个应力分量的基本微分方程和边界条件，由此解出应力分量。然后根据物理方程和几何方程求应变分量和位移分量。按应力求解空间问题＿具体过程以6个应力分量为基本未知函数。为了消元，其它9个未知函数须用6个应力分量表示；1、三个平衡微分方程，只包含应力分量，它是按应力求解的最基本方程；2、从几何方程中消除位移分量：利用几何方程，进行有关数学运算，可得到6个应变分量之间的关系式，即变形协调方程或相容方程，即教材中的式(8-14b)；3、将物理方程代入上述相容方程，可得用应力分量表示的相容方程(8-14d)；4、假设全部边界都为应力边界条件，则在边界上应满足应力边界条件；按应力求解空间问题＿总结空间问题按应力求解的方法：使6个应力分量在区域内满足3个平衡微分方程，满足6个相容方程；同时在边界上满足3个应力边界条件。此外，若为多连体，还必须满足位移单值条件。求解出应力分量后，代入物理方程求应变分量，代入几何方程求位移分量。按应力求解空间问题＿总结关于空间问题的相容方程的几点说明：（1）弹性体在满足连续性和小变形条件下，可导出几何方程，并进而导出应变之间的相容方程。因此相容方程是物体变形后保持连续性的必然结果。位移完全确定时，应变可完全确定。（2）应变完全确定时，位移不能完全确定。但如果应变分量满足相容方程，则其所对应的位移分量必然存在，并可通过积分求出。因此，应变满足相容方程是对应的位移存在且连续的必要条件。