弹性力学-空间问题的解答20130607-1

空间问题的解答第八章合肥工业大学本科生教学《弹性力学》主讲教师：袁海平(副教授、博士后)一、按位移求解空间问题二、半空间体受重力及均布压力三、半空间体在边界上受法向集中力四、按应力求解空间问题第八章空间问题的解答内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间问题的解答3按位移求解空间问题一在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，求解步骤：将应力先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，得用位移分量表示应力分量的弹性方程：1、取u,v,w为基本未知函数。2、引用几何方程，将应变用位移来表示。(8-1)zwEyvExuEzyx211211211xwzuEzvywEyuxvEzxyzxy121212其中体积应变zwyvxu弹性力学空间问题的解答43、将式(8-1)代入平衡微分方程，得在V内求解位移的基本方程按位移求解空间问题一(8-2)2222222.xyz其中拉普拉斯算子021112021112021112222zyxfwzEfvyEfuxE弹性力学空间问题的解答5,11222xsEμumvunwulfμμxxyxz(,,;,,).xyzuvw(c))(上在σs,suu()(d)us在上位移边界条件仍为:(,,;,,).xyzuvw按位移求解空间问题一4、将式(8-1)代入应力边界条件，得用位移表示的应力边界条件：(d)弹性力学空间问题的解答6（2）上的应力边界条件(c)；（3）上的位移边界条件(d)。σsus这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。（1）V内的平衡微分方程(8-2)；wvu,,按位移求解空间问题一归结：按位移求解空间问题，位移必须满足：在空间问题中，按位移求解方法尤为重要：能适用于各种边界条件。未知函数及方程的数目少。而按应力求解时，没有普遍性的应力函数存在。近似解法中，按位移法求解得到广泛的应用。弹性力学空间问题的解答7按位移求解空间轴对称问题:在柱坐标中，可以相似地导出位移应满足：),,(zzρuu,（1）V内的平衡微分方程，按位移求解空间问题一(8-4)－按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程。021112021112222zzfuzEfuuE弹性力学空间问题的解答8轴对称的拉普拉斯算子为2221.σSuS其中体积应变;zuuuz（2）上的应力边界条件。（3）上的位移边界条件。按位移求解空间问题一一、按位移求解空间问题二、半空间体受重力及均布压力三、半空间体在边界上受法向集中力四、按应力求解空间问题第八章空间问题的解答内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间问题的解答10设有半空间体，受自重体力及边界的均布压力q。半空间体受重力及均布压力二ρgfz解：按位移求解：位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界条件。考虑对称性，本题的任何x面和y面均为对称面，可设)(,0,0zwwvu(a)zwzwyvxu22,0,0zwzyx体积应变弹性力学空间问题的解答11（1）将位移(a)代入平衡微分方程(8-2)，前两式自然满足，第三式成为常微分方程：半空间体受重力及均布压力二0211122222gzwzwEgEzw121122BAzgEwAzgEzw2122111211积分其中Ａ、Ｂ为待定常数。(b)021112021112021112222zyxfwzEfvyEfuxE弹性力学空间问题的解答12半空间体受重力及均布压力二将(b)代入用位移分量表示的应力分量弹性方程，得：01zxyzxyzyxAzgAzg，(c)（2）边界条件：在z=0的负z面，应力边界条件为qqfffnmlzzzyx001,0，，，边界条件代入(c)01zxyzxyzyxgzqgzqgqA，(d)弹性力学空间问题的解答130)(hzw设z=h为刚性层，则由可以确定B。半空间体受重力及均布压力二将位移边界条件代入(b)212211gqhgEB最大铅直位移发生在边界上20max211211ghqhEwwz2221211zhgzhqEw弹性力学空间问题的解答14侧压力系数：侧面压力与铅直压力之比。由(d)得半空间体受重力及均布压力二(8-5)1zyzx讨论：当时，，三向相同应力状态，侧向变形最大，侧向压力也最大,说明物体的刚度极小，接近于流体。当时，正应力不引起侧向变形，说明物体的刚度极大，接近于刚体。21μ。zyxσσσ0一、按位移求解空间问题二、半空间体受重力及均布压力三、半空间体在边界上受法向集中力四、按应力求解空间问题第八章空间问题的解答内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间问题的解答16解：本题为空间轴对称问题。,0uρuzu设有半空间体,在o点受有法向集中力F。半空间体在边界上受法向集中力三按柱坐标位移求解，不计体力，位移而和应满足:（1）平衡微分方程(8-4).zuuuz其中02110211222zuzuu(a)弹性力学空间问题的解答17（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力边界条件为。00,0zz,00,0zzσ,0zF;0d20Fσzzz（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：半空间体在边界上受法向集中力三(b)(c)由于轴对称，其余的5个平衡条件均为自然满足。弹性力学空间问题的解答18,21212zRRzERFu;122122RzERFuz布西内斯克得出满足上述全部条件的解答为半空间体在边界上受法向集中力三(8-6),3212322RzzRRRFσ,221zRRRzRFσ,2353RFzσz253,2zFzR1222.Rz其中(8-7)弹性力学空间问题的解答19应力特征：;0,应力R。应力,0Rzzσ和（3）水平截面上的全应力，指向F作用点O。（2）水平截面上的应力与弹性常数无关。（1）当当边界面上任一点的沉陷：半空间体在边界上受法向集中力三(8-8)EFuzz201弹性力学空间问题的解答20若单位力均匀分布在的矩形面积上，其沉陷解为：将F代之为，对积分，便得到K点在矩形之外的沉陷量。baybaFdd1dy,半空间体在边界上受法向集中力三kikiFEa21(8-9)一、按位移求解空间问题二、半空间体受重力及均布压力三、半空间体在边界上受法向集中力四、按应力求解空间问题第八章空间问题的解答内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间问题的解答221.按应力求解空间问题的思路：形变可以通过物理方程用应力表示；位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。（2）其他未知函数用应力表示:（1）取σx…τyz…为基本未知函数。因此,位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以按应力求解通常只解全部为应力边界条件的问题。按应力求解空间问题四弹性力学空间问题的解答232.应力求解空间问题的方程:;,,222222222222222yxxyxzzxzyyzxyyxzxxzyzyz.2,2,2222yxyxzzxzxzyyzyzyxxzzxyzxyyyzxyzxxxyzxyz（2）相容方程（6个）:（1）平衡微分方程（3个）。（3）假设全部为应力边界条件（4）对于多连体，还应满足位移单值条件。其中：(1),(3)是静力平衡条件；(2),(4)是位移连续条件。按应力求解空间问题四(8-10)(8-11)弹性力学空间问题的解答24（2）形变满足相容方程,对应的位移存在且连续物体保持连续；形变不满足相容方程,对应的位移不存在,物体不保持连续。（1）物体满足连续性条件,导出形变和位移之间的几何方程,导出相容方程。对于相容方程说明如下：所以相容方程是位移的连续性条件。按应力求解空间问题四弹性力学空间问题的解答25（3）用应力分量表示相容方程222222222112111211121yxzxyzyyzzfffxxyzfffyyzxfffzzxy按应力求解空间问题四222222111111yzyzxzzxyxxyffyzyzffzxzxffxyxy(8-12)弹性力学空间问题的解答26不考虑体力时用应力分量表示相容方程222222222101010xyzxyz222222101010yzzxxyyzzxxyxyz体积应力按应力求解空间问题四(8-13)弹性力学空间问题的解答27在按应力求解空间问题中，力学家提出了几种应力函数，用来表示应力并简化求解的方程。应用这些应力函数，也已求出了一些空间问题之解，但这些应力函数不具有普遍性（不是普遍存在的）。按应力求解空间问题四弹性力学空间问题的解答28本章课后作业1.习题：8-12.习题：8-53.习题：8-6