参数法在解题中的妙用

参数法在解题中的妙用广东佛山市顺德区汇贤中学（528308）赵阳云参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。在解题中若能巧妙的选择好参数，就能达到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。以下几个例子，供大家参考。一、巧设参数,解‘连等式’问题例1、若121,432zyxzyx且，求x,y,z（甘肃升中题）。解：设432zyxk（k≠0）,那么x=2k、y=3k、z=4k代入x+y－z=121,得：2k＋3k－4k=121,解得：k=121，所以:x=61，y=41，z=31.评注：引入参数，把三个未知数转化为关于‘参数’的一元方程问题。二、巧设参数,解‘代数式的最值’问题例2、设a、b为实数，那么a2+ab+b2－a－2b的最小值是多少？（1998年全国初中数学联赛）解：设a2+ab+b2－a－2b=k，整理得：b2＋(a－2)b＋（a2－a－k）=0把上述等式看成是关于b的方程,因为b为实数，△≥0，（a－2）2－4a2＋4a＋4k≥0,4k≥3a2－4k≥43a2－1∵a为实数，所以：当a=0时，k有最小值为－1。即a2+ab+b2－a－2b的最小值是－1。评注：引入参数，把代数式问题转化为方程的问题是本题的独到之处。三、巧设参数,求‘方程的整数解’问题例3、求3x+5y=27的正整数解。解：显然此不定方程的一组正整数解为：x=4，y=3设3x+5y=27的整数解的参数方程为：3345kykx（k为参数，且为整数）∵x＞0，y＞0，033045kk，解得：54＜k＜1∴k=o，所以：此方程的正整数解为1组，为x=4，y=3评注：引入参数，把非定向的问题转化为定向问题，构造含参数方程组是解题的关键。四、巧设参数,解‘不等式’问题例4、若x＋y＋z=1,求证：x2＋y2+z2≥31。证明：设x=31－k1，y=31－k2，z=31＋(k1＋k2)x2＋y2+z2=(31－k1)2＋(31－k2)2＋[31＋(k1＋k2)]2=31＋k12＋k22＋(k1＋k2)2≥31当且仅当k1=k2=0时，等号成立。评注：引入参数，构造出含有目标的数字31，参数在证明过程中起到了一种‘桥梁’的作用。五、巧设参数,解‘完全平方数’问题例5、设N=23x+92y为完全平方数且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x,y）共有多少对？（2002年全国初中数学联合竞赛）解：N=23（x+4y）为不超过2392的完全平方数。23为素数（即质数）所以x+4y必为23的倍数。设x+4y=23k(k为参数，且是完全平方数)N=23×23k≤2392，k≤23104＜5，所以：k=1或4当k=1时，x+4y=23，x=23－4y，x为正整数，所以：y=1，2，3，4，5；x=19,15,11,7,3当k=4时，x+4y=92，x=92－4y，x为正整数，所以：y=1，2，3，…，22；x=88，84，80，…，4所以满足条件的一切正整数对（x,y）共有5+22=27对。评注：抓住完全平方数的特征，引入参数，从而达到化繁为简，化难为易的目的。六、巧设参数,解‘应用题’问题例6、已知一个五边形，其中每四边的和分别为：12、18、21、18、19，求五边形各边的长？解：设五边形的五边的和为k，则根据题意得：(k－12)＋(k－18)＋(k－21)＋(k－18)＋(k－19)=k解得：k=22所以：五边形的各边的长为：10、4、1、4、2；评注：单独设元直接列方程去解，复杂难解，引入一个整体参数，把五元方程变成一元方程是解决此题的一条捷径。参数法的应用范围广泛，只要把握题目的特点，巧设参数是找到解题的突破口和提高解题速度的一把钥匙。练习：1、532zyx，求代数式zyzyx79253的值？（仿照例1，答案：－81）2、求代数式1223222xxxx的最大值和最小值？（仿照例2，答案：1，－4）3、求方程3x＋7y=323的正整数解的组数是多少？（仿照例3，答案14组）4、如果对于不小于8的自然数n，当3n＋1是一个完全平方数时，n＋1都能表示成m个完全平方数的和，那么m的最小值为多少？（仿照例5，答案：3）5、已知一个四边形，其中每三边的和分别为19、23、25、29，求四边形各边的长？（仿照例6，答案：13、9、7、3）