全概率公式与贝叶斯公式

§1.6全概率公式和贝叶斯公式一、全概率公式二、贝叶斯公式三、小结1.样本空间的划分1B2B3B1nBnB一.全概率公式.,,,21的一个划分为样本空间则称SBBBn,,,,,21若的一组事件为的样本空间为试验设定义EBBBESn.)ii(21SBBBnUUU=;,,2,1,,,)i(njijiBBji===jiBB由=))((jiABAB)()()()(21nABPABPABPAP=图示A1B2B3B1nBnB)(21nBBBAASAUUU==.21nABABABUUU=).()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP=化整为零各个击破EA的事件为2.全概率公式全概率公式)()()()()()()(),,,2,1(0)(,,,,,,221121nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE==则且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理该公式主要解决复杂事件的概率问题说明全概率公式是计算概率的一个很有用的公式,通常把B1,B2,…,Bn看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”,必是n个车间生产了次品;若A是“某种疾病”,必是几种病因导致A发生;若A表示“被击中”,必有几种方式或几个人打中.(1)何时用全概率公式:多种原因导致事件的发生(2)如何用全概率公式:将事件分解成两两不相容的完备事件组.(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合。例1有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A为“任取一件为次品”,.3,2,1,”“=iiBi厂的产品任取一件为为事件,321SBBB=UU解.3,2,1,,==jiBBji由全概率公式得,2.0)(,5.0)(,3.0)(321===BPBPBPS30%20%50%2%1%1%).()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP=.013.02.001.05.001.03.002.0==,01.0)(,01.0)(,02.0)(321===BAPBAPBAP)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP=故例2设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的.已知其中有50%的产品是第一家工厂生产的,其他二厂各生产25%.又知第一、第二家工厂生产的有2%是次品,第三家工厂生产的有4%是次品.现从此箱中任取一个产品,求拿到的是次品的概率.例3例4甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率。设B={飞机被击落}Ai={飞机被i人击中},i=1,2,3，则B=A1B+A2B+A3B求解如下:由全概率公式为求P(Ai),设Hi={飞机被第i人击中}i=1,2,3可求得:112233()()()()()()()PBPAPBAPAPBAPAPBA=1123123123()()PAPHHHHHHHHH=依题意，123()0.2,()0.6,()1PBAPBAPBA===将数据代入计算得:于是即飞机被击落的概率为0.458。2123123123()()PAPHHHHHHHHH=3123()()PAPHHH=123()036;()041;()014PA.PA.PA.===112233()()()()()()()PBPAPBAPAPBAPAPBA=0.360.20.410.60.1410.458==称此为贝叶斯公式..,,2,1,)()()()()(),,,2,1(,0)(,0)(,,,,.121niBPBAPBPBAPABPniBPAPSBBBEASEnjjjiiiin====则且的一个划分为的事件为的样本空间为设试验定理2.贝叶斯公式亦称为逆概率公式.贝叶斯公式作用在于“由结果推原因”，现在有一“结果”A发生了，在众多可能的“原因”中，到底是哪一个导致了这个结果？1763年由贝叶斯(Bayes)给出证明)()()(APABPABPii=,)()()()(1==njjjiiBPBAPBPBAP.,,2,1ni=;,)1(.,05.080.015.003.001.002.0321:.概率求它是次品的元件在仓库中随机地取一只无区别的标志且仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在提供元件的份额次品率元件制造厂的数据根据以往的记录有以下件制造厂提供的的元件是由三家元某电子设备制造厂所用例1..,,,)2(试求这些概率是多少家工厂生产的概率分别需求出此次品由三为分析此次品出自何厂次品若已知取到的是元件在仓库中随机地取一只解,“取到的是一只次品”表示设A.家工厂提供的”“所取到的产品是由第表示i)3,2,1(=iBi,,,321的一个划分是样本空间则SBBB,05.0)(,80.0)(,15.0)(321===BPBPBP且.03.0)(,01.0)(,02.0)(321===BAPBAPBAP(1)由全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP=.0125.0=(2)由贝叶斯公式得)()()()(111APBPBAPABP=0125.015.002.0=.24.0=,64.0)()()()(222==APBPBAPABP.12.0)()()()(333==APBPBAPABP.2家工厂的可能性最大故这只次品来自第?,.%95,.%55,,%98,,概率是多少机器调整得良好的品时早上第一件产品是合格试求已知某日机器调整良好的概率为时每天早上机器开动其合格率为种故障时而当机器发生某产品的合格率为良好时当机器调整得明对以往数据分析结果表解,“产品合格”为事件设A.“机器调整良好”为事件B则有例2,05.0)(,95.0)(==BPBP由贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP=05.055.095.098.095.098.0=.97.0=.97.0,整良好的概率为此时机器调是合格品时即当生产出第一件产品,55.0)(,98.0)(==BAPBAP上题中概率0.95是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后验概率.先验概率与后验概率).(,005.0)(,005.0,.95.0)(,95.0)(,,:,ACPCPCAPCAPCA试求即的概率为设被试验的人患有癌症进行普查现在对自然人群有则有癌症”表示事件“被诊断者患以为阳性”表示事件“试验反应若以验具有如下的效果某种诊断癌症的试根据以往的临床记录===解,95.0)(=CAP因为,995.0)(,005.0)(==CPCP例3,05.0)(1)(==CAPCAP由贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(CPCAPCPCAPCPCAPACP=.087.0=即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.条件概率)()()(APABPABP=全概率公式贝叶斯公式)()()()()()()(2211nnBPBAPBPBAPBPBAPAP=niBPBAPBPBAPABPnjjjiii,,2,1,)()()()()(1===)()()(APABPABP=乘法定理三、小结B1B2…Bn原因A结果P（Bi）12?.4100.0.01;0.95.,3,)3(3:.1002概率是多少试问这批乐器被接收的音色不纯的件是件乐器中恰有如果已知这的概率为测试被误认为不纯而一件音色纯的乐器经为出其为音色不纯的概率试查件音色不纯的乐器经测设一收则这批乐器就被拒绝接被认为音色不纯中件中至少有一件在测试如果是相互独立的件乐器的测试设件测试该批乐器中随机地取自验收方案如下乐器件要验收一批例解,,3件音色不纯恰有件随机地取出设iHi=.3210,,,i=.这批乐器被接收=A则AP11HPH|APHPH|AP=003322HPH|APHPH|AP其中0HP,3100396CC=1HP,142310096CCC=2HP,241310096CCC=3HP,343100CC=0H|AP,0.993=1H|AP,0.050.992=2H|AP,0.050.992=3H|AP.0.053=:概率为所以这批乐器被接收的AP11HPH|APHPH|AP=003322HPH|APHPH|AP30.99=3100396CC0.050.992142310096CCC22410.050.99310096CCC0.053343100CC.0.8629=