当新函数分母为0时-如何求分离出来的参数的取值范围

1当新函数当新函数当新函数当新函数分母为分母为分母为分母为0时时时时，，，，如何求如何求如何求如何求分离出来的分离出来的分离出来的分离出来的参数的取值范围参数的取值范围参数的取值范围参数的取值范围湖南省沅江市第一中学王习波分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法。通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，我们可以确定参数的变化范围。这种方法的最大优点是可以避免分类讨论的麻烦。解题的关键是从原函数式中分离出参数之后转化为求新函数的最值或值域问题。但是，我们经常会遇到这样的情形：参数分离之后参数分离之后参数分离之后参数分离之后，，，，新函数新函数新函数新函数的的的的分母为分母为分母为分母为0。。。。这时你无法像往常一样将主变量x的取值范围12[,]xx的端点值1x或2x代入新函数中求得新函数的最值或值域。这就是本文将要解决的问题这就是本文将要解决的问题这就是本文将要解决的问题这就是本文将要解决的问题。。。。经典例题：（全国高考）设函数ln1(x)1xfxx=++，当(0,1)(1,)x∈∪+∞时，ln(x)1xkfxx+-，求k的取值范围。解：因为ln1(x)1xfxx=++，(0,1)(1,)x∈∪+∞，ln(x)1xkfxx+-所以ln1ln11xxkxxxx+++-，所以ln1ln11xxkxxxx+-+-所以xlnxln111xxkxx+-+-2所以22xln11xkx+-所以22xln11xkx+-，其中(0,1)(1,)x∈∪+∞令22xln(x)11xgx=+-，则22222222222222222(2xln)(1)(2xln)(1)2(ln1)(1)(2xln)(2)(x)222(ln1)(1)4ln2(ln1)2(ln1)4ln222ln222ln2(1)ln2(1)2(22(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxxxgxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx′′---+---′==+-++-++==+-+++-===------iiiiii22221)1(ln)21(1)xxxxx+-++-显然，当(0,1)(1,)x∈∪+∞，222(1)02(1)xx+-下面需要求出221ln1xxx-++在(0,1)(1,)x∈∪+∞上的取值情况。再令221h(x)ln1xxx-=++，则222222222222(1)(1)(1)(1)2(2)(1)(1)2411h(x)(ln)()21(1)211(1)222(1)(1)x(1)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx′′-+--+-+----′′′=+=+++-=+=+=+++iiiii因为(0,1)(1,)x∈∪+∞3所以222(1)h(x)02x(1)xx-′=+i由此可知，函数221h(x)ln1xxx-=++在定义域上单调递增，并且221h(1)ln10111-=+=+所以当(0,1)x∈时，函数221h(x)ln01xxx-=++；当(1,)x∈+∞时，函数221h(x)ln01xxx-=++；所以当(0,1)x∈时，函数22222(1)1(x)(ln)021(1)gxxxxx+-′=++-；当(1,)x∈+∞时，函数22222(1)1(x)(ln)021(1)gxxxxx+-′=++-；所以函数22xln(x)11xgx=+-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数22xln(x)11xgx=+-在(0,)+∞上有最小值g(1)。若要使得22xln1(x)1xkgx+=-成立，只需min(1)(x)kgg=但是，221ln1(1)111g=+-ii，分母为零，我们无法求得(1)g的值。我们先借助函数作图软件GeoGebra作出(x)g与(x)h的图象来：4由图象可知，函数22xln(x)11xgx=+-和221h(x)ln1xxx-=++在1x=处都有确定的值0.如何求出(1)g的值呢？我们在此引进数学分析中的洛必达法则（Hospitalrule）在谷超豪先生主编的《数学词典》的第275页介绍了洛必达法则：若(x)lim(x)xafg→为00型或者∞∞型待定型，,fg可导，(x)0g′≠，且(x)lim(x)xafAg→′=′，则(x)(x)limlim(x)(x)xaxaffAgg→→′==′（这里a可以是0,0aa+-或∞；A可以是有限数或∞.当(x)lim(x)xafg→′′5仍为待定型时，可以继续使用此法则。例如320000sin1cossincos1limlimlimlim6663xxxxxxxxxxxx→→→→--====）于是我们有：2211112xln2xln2ln2lim(x)lim(1)1lim1lim110211xxxxxxxgxxx→→→→+=+=+=+=-=---故：k的取值范围为(,0]-∞，（因为1x≠，所以k可以等于0.）经典练习题：（2013年辽宁文科）若不等式322(x2)cosx42axxx++++≤对于[0,1]x∈恒成立，求a取值范围。（参考答案：2a≤-）2015-10-31