概率论与数理统计复习提纲

1第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1.样本空间、随机事件①样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；②样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一.③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示；④必然事件就等于样本空间；不可能事件()是不包含任何样本点的空集；⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2.事件的四种关系①包含关系：AB，事件A发生必有事件B发生；②等价关系：AB，事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A发生；③互不相容（互斥）：AB，事件A与事件B一定不会同时发生。④对立关系（互逆）：A，事件A发生事件A必不发生，反之也成立；互逆满足AAAA注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）3.事件的三大运算①事件的并：AB，事件A与事件B至少有一个发生。若AB，则ABAB；②事件的交：ABAB或，事件A与事件B都发生；③事件的差：-AB，事件A发生且事件B不发生。4.事件的运算规律①交换律：,ABBAABBA②结合律：()(),()()ABCABCABCABC③分配律：()()(),()()()ABCABACABCABAC④德摩根（DeMorgan）定律：,ABABABAB对于n个事件，有1111,nniiiinniiiiAAAA二、随机事件的概率定义和性质1．公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件),(AA都有确定的实值P(A)，满足下列性质：(1)非负性：;0)(AP(2)规范性：;1)(P(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件kAAA,,21，有kiikiiAPAP11)()(.则称P(A)为随机事件A的概率.2．概率的性质①()1,()0PP②()1()PAPA③若AB，则()(),()()()PAPBPBAPBPA且2④()()()()PABPAPBPAB()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPBCPACPABC注：性质的逆命题不一定成立的.如若),()(BPAP则BA。（×）若0)(AP，则A。（×）三、古典概型的概率计算古典概型：若随机试验满足两个条件：①只有有限个样本点,②每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,()kPAn。典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则(1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为.)()(1nmnmmnNMNMCAP(2)在不放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为nNmnMNmMmnAAACAP)(2.nNmnMNmMCCC四、条件概率及其三大公式1.条件概率：()()(|),(|)()()PABPABPBAPABPAPB2.乘法公式：1212131211()()(|)()(|)()()(|)(|)(|)nnnPABPAPBAPBPABPAAAPAPAAPAAAPAAA3.全概率公式：若12,,,,,nniijiBBBBBBij满足，则1()()(|)niiiPAPBPAB。4.贝叶斯公式：若事件12,,,nBBBA和如全概率公式所述，且(A)0P，1()(|)(|)()(|)iiiniiiPBPABPBAPBPAB则.五、事件的独立1.定义：()()(),PABPAPB若则称A,B独立.推广：若12,,,nAAA相互独立，11()()()nnPAAPAPA2.在,,,,,,,ABABABAB四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。3.三个事件A,B,C两两独立：()()()()()()()()()PABPAPBPBCPBPCPACPAPC注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立两两独立，反之不成立。）4.伯努利概型：(),0,1,2,,,1.kknknnPkCpqknqp31.事件的对立与互不相容是等价的。（X）2.若()0,PA则A。（X）3.()0.1,()0.5,()0.05PAPBPAB若则。(X)4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为ABCABCABC。(∨)5.n个事件若满足,,()()()ijijijPAAPAPA，则n个事件相互独立。(X)6.当AB时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）第二章随机变量及其分布一、随机变量的定义：设样本空间为，变量)(XX为定义在上的单值实值函数，则称X为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1.定义：设随机变量X，对于任意实数xR，函数(){}FxPXx称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。注：当21xx时，)(21xXxP)()(12xFxF(1)X是离散随机变量，并有概率函数,,2,1),(ixpi则有.)()(xxiixpxF(2)X连续随机变量，并有概率密度f(x)，则dttfxXPxFx)()()(.2.分布函数性质：（1F(x)是单调非减函数，即对于任意x1x2，有);()(21xFxF；（21)(0xF；且1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx，；（3离散随机变量X，F(x)是右连续函数,即)0()(xFxF；连续随机变量X，F(x)在（-∞，+∞）上处处连续。注：一个函数若满足上述3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布1.定义.设随机变量X只能取得有限个数值nxxx,,,21，或可列无穷多个数值,,,,,21nxxx且),2,1()(ipxXPii，则称X为离散随机变量,pi(i=1,2,…)为X的概率分布，或概率函数(分布律).注：概率函数pi的性质:;,2,1,0)1(ipi1)2(iip2.几种常见的离散随机变量的分布：（1）超几何分布，X~H(N,M,n)，{}0,1,2,,knkMNMnNCCPXkknC（2）二项分布，X~B(n.,p)，()(1)0,1,,kknknPXkCppkn当n=1时称X服从参数为p的两点分布（或0－1分布）。若Xi(i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立，则1niiXX服从二项分布。4（3）泊松(Poisson)分布，~()XP，{}(0),0,1,2,...!kePXkkk四、连续随机变量及其分布1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I，且存在非负函数f(x)，使得对于任意区间Iba],(，有,)()(badxxfbXaP则称X为连续随机变量;函数f(x)称为连续随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。注1：连续随机变量X任取某一确定值的0x概率等于0,即;0)(0xXP注2：)()()(212121xXxPxXxPxXxP21)()(21xxdxxfxXxP2.概率密度f(x)的性质：性质1：;0)(xf性质2：.1)(dxxf注1：一个函数若满足上述2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。注2：当21xx时，)(21xXxP)()(12xFxF21)(xxdxxf且在f(x)的连续点x处，有).()(xfxF3.几种常见的连续随机变量的分布：(1)均匀分布~(,)XUab，.,1;,;,0)(01)(bxbxaabaxaxxFbxaabxf其它，，(2)指数分布~()Xe,0.0,0,0,1)(000)(xxexFxxexfxx，，(3)正态分布),(~2NX，0xdtexFexfxtx,21)(21)(22222)(2)(，1.概率函数与密度函数是同一个概念。（X）2.当N充分大时，超几何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.设X是随机变量，有()()PaXbPaXb。(X)4.若X的密度函数为()fx=cos,[0,]2xx，则0(0)cos.PXtdt(X)第三章随机变量的数字特征一、期望（或均值）1．定义：,EX1,(),kkkxpEXxfxdx离散型连续型2．期望的性质：(1)(),(ECCC为常数)(2)E(CX)=CE(X)(3)E(XY)=E(X)E(Y)(4)若X与Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),反之结论不成立.53.随机变量函数的数学期望1(),[()]kkkgxpXEgxX+-离散型g(x)f(x)dx，连续型4.计算数学期望的方法(1)利用数学期望的定义；(2)利用数学期望的性质；常见的基本方法：将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.(3)利用常见分布的期望；1．方差连续型离散型,)()]([,)]([)]([)(222dxxfXExpXExXEXEXDii注：D(X)=E[X-E(X)]2≥0；它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2．方差的性质(1)()0,(DCC2为常数)(2)D(CX)=CD(X)(3)若X与Y相互独立，则D(XY)=D(X)+D(Y)(4)对于任意实数C∈R，有E(X-C)2≥D(X)当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X).(5)(切比雪夫不等式):设X的数学期望E(X)与方差D(X)存在,对于任意的正数，有(())P|X-EX|ε2().DXε或(())P|X-EX|ε.2()1-DXε3.计算(1)利用方差定义；(2)常用计算公式.)]([)()(22XEXEXD(3)方差的性质；(4)常见分布的方差.注：常见分布的期望与方差1.若X～B(n,p),则E(X)=np,D(X)=npq;2.若;)()(),(~XDXEPX则3.若X～U(a,b),则;12)()(,2)(E2abXDbaX4.若;1)(,1)(),(~2XDXEeX则5.若.)(,)(),,(~22XDXENX则三、原点矩与中心矩（总体）X的k阶原点矩：)()(kkXEXv（总体）X的k阶中心矩：kkXEXEXu)]([)(1.只要是随机变量，都能计算期望和方差。(X)2.期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。(√)3.方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。(X)4.方差的实质是随机变量函数的期望。(√)5.对于任意的X,Y，都有()DXYDXDY成立。(X)第四章正态分布一、正态分布的定义1.正态分布6⑴),(~2NX概率密度为,,21)(222)(xexfx其分布函数为xtdtexF222)(21)(注：21)(F.正态密度函数的几何特性：；对称曲线关于x)1(；）（21)(2取得最大值时，当xfμx；，，轴为渐近线以时当xxfx0)()3(;2121)4(22222)(2)(dxedxexx轴作平移变化.图形不变，只是沿着的大小时，f(x)的改变，当固定yμσ）（5越大,图形越高越瘦；越小,变，对称轴不变而形状在改的大小时改变，当固定（6）σσxfσμ)(，图形越矮越