5.函数展开成幂级数

16.5函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数2引言:问题：:)(000特点幂级数nnxxa..3.,.2;,.1可逐项积分和微分计算方便各项由幂函数构成在收敛域内有和函数收敛域可求的形式？是否可以表示成幂级数任一函数)(xf一、泰勒级数2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?？nnnxxaxf)()(00?.1na如果能展开，怎么确定3)()(!)())(()()(,1)(00)(0000xRxxnxfxxxfxfxfnxxfnnn则阶导数周围具有直到在泰勒公式回忆:10)1()()!1()()(:nnnxxnfxR其中)(0之间的某个值与是介于xx),(0|)(|nxRn若.来提高精度可通过增大n000)()(!)(:nnnxxnxf想到))(()(!)())(()(00)(000nxfxxnxfxxxfxfnn4.)()(!)()(0000)(0泰勒级数的在点称为数处任意阶可导，则幂级在点如果xxfxxnxfxxfnnn定义.1.)(!)(~)(:000)(nnnxxnxfxf记.!)(0)(称为泰勒系数nxfn定理.2nnnxxaxfxxxUxUxf)()(,)()(,)()(00000即的幂级数内能展开成且在内具有任意阶导数在如果函数.),2,1,0()(!10)(且展开式是唯一的则其系数nxfnann.,)(则一定为泰勒级数有收敛到它的幂级数若xf5问题不一定.?nnnxxnxfxf)(!)()(000)(定理.3.0)(lim)(:)(,)(00xRxxfxfxxfnn点展开的泰勒公式中在条件能展开成泰勒级数充要则在该邻域内数的某邻域内有任意阶导在点设泰勒级数在收敛区间是否收敛于?)(xf6()00000()()()()()()()()!nnnfxnfxfxfxfxxxxxRxn的阶泰勒公式:()00000()()~()()()()!nnfxfxfxfxxxxxnlim()0nnRx1()nSx1lim()().nnSxfx:()().fxfx即的泰勒级数收敛于充分性证明:必要性:1lim()()nnSxfx)]()([lim1xSxfnn;0)(limxRnn()(),fxfx的泰勒级数收敛于7,)(0数的某邻域内有任意阶导在点设xxf.)(!)()(.1000)(nnnxxnxfxf的幂级数只有能收敛到.0)()()(!)(.2000)(xRxfxxnxfnnnn能收敛到.)(!)0(,0.30)(0的马克劳林级数称为时xfxnfxnnn8二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:;!)()1(0)(nxfann求.0)(lim),,()3(xRRRxnn讨论).(xf敛于则级数在收敛区间内收.,)(!)().2(000)(并求其收敛半径写出泰勒级数nnnxxnxf9解.)(1的幂级数展开成将例xexfx,)()(xnexf),2,1,0(.1)0()(nfnnxxnxxe!1!211~2|)!1(|)(1nnxnexR)!1(||1||nxenx.通项趋向于零nxxnxxe!1!2112)(,)!1(||11比值法是收敛级数nxnnlim()0.nnRx).,(收敛域：R)!1(||1nxMn10常用函数的马克劳林级数)!12()1(!5!3sin1253nxxxxxnn)!2()1(!6!4!21cos2642nxxxxxnn1)1(32)1ln(132nxxxxxnnnxxxx2111nmxnnmmmxmmmxx!)1()1(!2)1(1)1(2nnxxxx)1(1112),(x]1,1(x)1,1(x)1,1(x)1,1(x),(x112.间接法.)(:12的幂级数展开为把例xexfx解)(2txeexf2xt令：ntntt!1!21122)(xexfnxnxx242!1!211),(x.,0)(,有许多困难是否要验证直接展开幂级数xRn根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.12.21)(:2的幂级数展开为把例xxxf解1121)(2xxfnnnx)2()1(210122)1(8421nnnxxx)1,1(2x)2,2(x13.1341)(:32的幂级数展开为把例xxxxf解nnnx)21()1(410)3)(1(1)(xxxf)3(21)1(21xx)]1(4[121)]1(2[121xx]4)1(1[181]2)1(1[141xxnnnx)41()1(810)3,1()5,3(nnnnnx)1)(2121()1(3220)3,1(14xxdxx021arctan02)1(nnnx002)1(nxnndxx12)1(51311253nxxxxnn].1,1[x.arctg:4的幂级数展开为把例xx01212)1(nnnnx211)(arctanxxxnnndxx002)1(