13-5函数的幂级数展开式

目录上页下页返回结束第五节两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数第十三章目录上页下页返回结束一、泰勒(Taylor)级数其中)(xRn(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则在复习:f(x)的n阶泰勒公式)()(0xfxf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()(xRn若函数的某邻域内具有n+1阶导数,该邻域内有:目录上页下页返回结束)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,目录上页下页返回结束定义13.5.1如果函数()fx在点0xx处有任意阶导数，就称幂级数()200000000()()()()()()()!2!nnnfxfxxxfxfxxxxxn()00()()!nnfxxxn(13.5.4)为函数()fx在点0xx处的泰勒级数，记为()000()()()!~nnnfxfxxxn．(13.5.5)当00x时，幂级数(13.5.4)为()()20(0)(0)(0)(0)(0)!2!!nnnnnfffxffxxxnn，(13.4.6)称之为函数()fx的马克劳林级数，记为()0(0)()~!nnnffxxn．(13.5.7)目录上页下页返回结束函数()fx在点0xx处的泰勒级数（13.5.4）的收敛域记为0I．在其收敛域0I内，()fx的泰勒级数的和函数是否一定等于()fx，即()fx的泰勒级数是否一定收敛于()fx？答案是否定的．例如，可以证明函数21e.0,()0,0xxfxx在点0x处的任意阶导数都等于零，即()(0)0,0,1,2,nfn，所以()fx在点0x处的泰勒级数（即马克劳林级数）为2200002!!xxxn．显然该级数在(,)内收敛，且其和函数()0sx，由此可见，对任意0x，均有()()fxsx．目录上页下页返回结束此例表明函数()fx的泰勒级数并不都是收敛于函数()fx本身．基于此原因，式（13.5.5）与式（13.5.7）中采用记号为“~”而不是“=”，只有当函数()fx的泰勒级数的收敛于()fx时，才可将“~”换为“=”，并称函数()fx可展开成幂级数．那么，函数()fx具备什么条件时才可展开成幂级数？目录上页下页返回结束定理1.各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式余项满足:.0)(limxRnn证明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0xUxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0xUx设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有目录上页下页返回结束定理2.若f(x)能展成x的幂级数,唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.证:设f(x)所展成的幂级数为则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;)1(!2)(22nnxannaxf)0(!212fa;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa显然结论成立.)0(0fa则这种展开式是目录上页下页返回结束二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,展开成幂级数的步函数)(xf第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内)(limxRnn是否为骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开目录上页下页返回结束第四步当0R时，判定幂级数()0(0)!nnnfxn在点xR和xR处的敛散性．如果该幂级数在点xR（或xR）处收敛，且()fx在点xR处左连续（或在点xR处右连续），则由幂级数和函数的连续性知展开式()0(0)()!nnnffxxn对点xR（或xR）仍成立．注：如果lim()0nnRx或lim()nnRx不存在，则函数()fx不能展开成马克劳林级数．目录上页下页返回结束例1.将函数展开成x的幂级数.解:,e)()(xnxf),,1,0(1)0()(nfn1其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足e!)1(n1nxxenRlim!1n!)1(1nn(在0与x之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数(1)1()()(1)!nnnfRxxn目录上页下页返回结束||1e|()|||.(1)!xnnRxxn对任何实数x,都有nnRxlim()0.因而1由定理得到2111e1,(,).1!2!!xnxxxxn()0n()3n()2nexyx11O22462y由于幂级数0!nnxn在(,)内绝对收敛，因此对任意的x，有11lim0(1)!nnxn，目录上页下页返回结束例2.将展开成x的幂级数.解:)()(xfn)0()(nf得级数:x其收敛半径为,R对任何有限数x,其余项满足))1(sin(2πn!)1(n1nx12kn),2,1,0(k3!31x5!51x12!)12(11)1(nnnxxsinnkn2,)1(k,012!)12(115!513!31)1(nnnxxxx目录上页下页返回结束35211sin(1).3!5!(21)!nnxxxxxn目录上页下页返回结束nnxnxxx2142!)2(1)1(!41!211cos对上式两边求导可推出:12153!)12(1)1(!51!31sinnnxnxxxx目录上页下页返回结束例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:易求出,1)0(f,)0(mf,)1()0(mmf,)1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得级数mx12!2)1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!)1()1(级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,目录上页下页返回结束推导11,)(xxF2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(1!)1()1()1(111)(nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1(xFx),(xmFmxxF)1()(00()dd()1xxFtmttFtt)1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F推导则为避免研究余项,设此级数的和函数为目录上页下页返回结束2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(xmxm1)1(称为二项展开式.说明：(1)在x＝±1处的收敛性与m有关.(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得目录上页下页返回结束2(1)(1)12!xxx论如下:1,(1,1);当时收敛域为10,(1,1];当时收敛域为0,[1,1].当时收敛域为(1)(1)!nnxn对于收敛区间端点的情形,与的取值有关,其结目录上页下页返回结束2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1(xmxm1)1(对应1,,2121m的二项展开式分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111x24231x3642531x)11(x486427531xx21111x2x3x)11(xnnx)1(x)11(1112xxxxxn目录上页下页返回结束2.间接展开法一般而言，如果用直接展开法将函数()fx展开成幂级数，在求函数()fx的各阶导数()()(0,1,2,)nfxn时就很困难，而讨论其余项的极限lim()nnRx就更为复杂．因此直接展开法在实际运用时非常不方便．为此，我们现在介绍间接展开法．所谓间接展开法就是根据函数幂级数展开式的惟一性，利用已有的函数幂级数展开式，通过变量代换、四则运算、幂级数逐项求导以及逐项积分等手段将所给函数()fx展开成幂级数．目录上页下页返回结束x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数展开成x的幂级数.解:因为nnxxx)1(12)11(x把x换成2x211xnnxxx242)1(1)11(x,得将所给函数展开成幂级数.目录上页下页返回结束例5.将函数展开成x的幂级数.解:xxf11)()11()1(0xxnnn从0到x积分,得00ln(1)(1)dxnnnxtt,1)1(01nnnxn定义且连续,域为利用此题可得11x11x上式右端的幂级数在x＝1收敛,有在而1)1ln(xx所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛目录上页下页返回结束例6.将展成解:)(sinsin4π4πxx)sin(cos)cos(sin4π4π4π4πxx)sin()cos(4π4π21xx32)4π(!31)4π(!21)4π(121xxx的幂级数.)4π(x3)4π(!31x5)4π(!51x目录上页下页返回结束例13.5.3将函数()arctanfxx展开成x的幂级数．解在式中用2x代换x，得2242201(1)1(1),(1,1)1nnnnnxxxxxx.11x再两端同时从0到((1,1))xx积分，有212200001arctand(1)d(1),(1,1)121nxxnnnnnxxtttxtn．又幂级数210(1)21nnnxn在点1x及1x处均收敛，所以2135210arctan(1)(1),[1,1]213521nnnnnxxxxxxxnn．(13.5.16)目录上页下页返回结束201arctand1xxttxxx3535nnxn21(1),[1,1],21yO0n1n4narctan()yxx-11-2-112目录上页下页返回结束例7.将展成x－1的幂级数.解:)3)(1(13412xxxx21x21x222)1(xnnnx2)1()1(81nnnnnx)1(2121)1(3220)31(x121x41x1141x)21(x目录上页下页返回结束例13.5.4将函数2()2xfxxx展开成x的幂级数．解令()(2)(1)xfxxx21ABxx，则(1)(2)AxBxx．由20,1ABAB解得21,33AB，所以()fx21113231xx