应用平面向量基本定理解题题型归纳

1平面向量基本定理常用题型归纳何树衡刘建一平面向量基本定理：如果21,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数21,使得a=2211ee平面向量基本定理是正交分解和坐标表示的基础，它为“数”和“形”搭起了桥梁，在向量知识体系中处于核心地位.笔者对近十年高考有关平面向量基本定理题目作了系统研究，认为大致分为以下题型：一、基本题型随处可见1.1直接利用21,唯一性求解例1：在直角坐标平面上，已知O是原点，)2,2(),4,2(OBOA，若ABOByOAx3，求实数x,y的值解：)2422()2,2()4,2(yxyxyxOByOAx，)2,4(OAOBAB6241222yxyx∴33yx即x为－3，y为3.1.2构建三角形，利用正余弦定理求解例2：如图，平面内有三个向量OCOBOA,,，其中OBOA与夹角为120º，OCOA与的夹角为30º，32,1OCOBOA，若),(ROBOAOC,则=，=.解：过C作CD∥OB交OA的延长线于D，在Rt△ODC中，30sin90sin60sinCDODOC∴,4,2ODDC即=4，=2D30ºOCBA2二、共线问题常考常新2.1感受平面内三点共线的结论在解题中简明快捷。常用结论：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：直线上任意一点P，存在实数t，使得OP关于基底{OA,OB}的分析式为OBtOAtOP)1(反之，若OBtOAtOP)1(则A，P，B三点共线（特别地令t=21,OBOAOP2121称为向量中点公式）例3：在△ABC中，NCAN31，P是BN上的一点，若ACABmAP112，则实数m的值为解：∵NCAN31，∴ACAN41∵B,P,N三点共线，∴ANmABmAP)1(又∵ANABmAP118，∴m=1132.2感受向量数形二重性在证明平面几何中独特魅力例4：在平行四边形OACB中，BD=31BC，OD与BA相交于E，求证：BE=41BA证明：如图，设E′是线段BA上的一点，且BE′=41BA，只需证E，E′重合即可设aOA，bOB，aBD31，abOD31'OE=ODabbababBAbBEOB43)31(43)3(41)(4141'∴O,E′,D三点共线∴E,E′重合，∴BE=41BA三、区域问题渐成热点由平面内三点共线定理拓展可以研究区域问题，为解决线性规划问题画出可行域提供理论上依据和操作上的便利，也可以解决向量中类似于点所在位置问题.定理：设O,A,B为平面内不共线的三个定点，动点C满足),(RyxOByOAxOC，记直线OA，OB，AB分别为lOA,lOB,lAB，平面被分成如图7个部分(Ⅰ—Ⅶ)，得出结论表(1)，表(2)BPADCBPANCBDAEO3表(1)充要条件动点C所在区域(不含边界)x,y满足条件Ⅰx0，y0且x+y1Ⅱx0，y0且x+y1Ⅲx0，y0且x+y1Ⅳx0，y0且x+y1或x0,y1ⅤX0,0y≤1Ⅵ0x≤1,y0ⅦX0,y0表(2)充要条件动点C在线上x,y所满足条件相同特征不同特征C在线段AB上x+y=1x0,y0C在线段AB的延长线上x0,y0C在线段BA的延长线上x0,y0C在线段OA上y=00≤x≤1C在线段OA的延长线上x1C在线段AO的延长线上x0C在线段OB上x=00≤y≤1C在线段OB的延长线上y1C在线段BO的延长线上上y0在近十年高考题中，区域问题常以下面两种题型出现.3.1动点所在位置定，判断系数满足条件AOBⅣⅣⅠⅥⅡⅢⅦ4例5：如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分，Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界)，若21OPbOPaOP，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a,b满足（）A．a0,b0B．a0,b0C．a0,b0D．a0,b0答案：B例6：如图OM∥AB，点P在射线OM，射线OB及AB的延长线围成的阴影部分内（不含边界）运动，且OByOAxOP，则x的取值范围是，当x=－21时，y的取值范围是.答案：x02321y解：①设OS∥21AB，过S作OB平行线交AB延长线于T，则OP的终点P只能在线段ST上（不包括端点）②由区域V性质得x0,0y≤1,当OBOAOAOBABOS2121)(2121，此时y=21,当T在AB的延长线上时，由表(2)得C在线段AB延长线上时x0,y0且x+y=1∴OP=－21OA+OBy,－21+y=1∴y=23即21y233.2系数满足条件定，判断动点所在位置例7：平面上定点A、B满足2OBOAOBOA，则点{1,OBOAOPP}(R,)所表示的区域面积是（）A．22B．23C．42D．43答案：D解：令OA与x轴的非负半轴重合，OB在第一象限内ⅡP2P1OⅢⅠⅣyxBB′AOA′BAOMOBAMTPS5∵OA=OB=cosOBOA∠AOB=2∴∠AOB=3∵在第一象限，0,0∴OBOAOP∴+≤1P点形成图形的面积为S△AOB=OBOA21sin∠AOB=21×2×2×sin3=3,同理S△A′OB=3∴SA′B′AB=43巩固练习及参考答案1.已知)22,15(),4,3(),2,1(cba，若bac，求，2.已知△ABC和点M满足0MCMBMA，若存在实数m使得AMmACAB成立，则m=()A．2B．3C．4D．53.如右图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP:PM的值.4.已知平行四边形ABCD，点P为四边形内部或者边界上任意一点，向量ADyABxAP，则O≤x≤21,O≤y≤32的概率是（）A．31B．32Ｃ．41D．21参考答案：1.=3，=42.B3.3：14.A参考文献：[1]卫福山.平面向量中一个重要定理的多角度研究[J],中学数学研究，2014,(9).[2]殷华.一道向量题的研究学习[J],中学数学研究，2014,(10).[3]舒跃进.平面向量基本定理的相关性质及应用[J],数学通讯，2007,(7).ANPMBC