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第二章平面向量第三节平面向量的基本定理及坐标表示第二课时平面向量的正交分解及坐标表示思考：给定平面内任意两个向量e1，e2，请你作出向量3e1＋2e2、e1－2e2．平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示呢？设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．e1e2aCaAe1e1e2aONMBe2NM即a=λ1e1+λ2e2．由图可知，OC=OM+ON=λ1OA+λ2OB平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（base）．不共线向量有不同方向，它们的位置关系可以用夹角来表示．关于向量的夹角，规定：OabBAθ当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向．如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．已知两个非零向量a和b．如图，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角．例1已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2.e1e23e2-2.5e1OABC2.作平行四边形AOBC．作法:1.如图，任取一点O，作OA=-2.5e1，OB=3e2．OC就是求作的向量．MOCNa（1）一组平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考EFANBMaOCMENMOCNaEF（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1、λ2是否相同？（可以不同，也可以相同）ABOC=OF+OEOC=2OA+OEOC=2OB+ONNE特别的，若a=0，则有且只有：λ1=λ2=0可使0=λ1e1+λ2e2．若λ1与λ2中只有一个为零，情况会是怎样？特别的，若a与e1（e2）共线，则有λ2=0（λ1=0），使得：a=λ1e1+λ2e2．如图，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F2．也就是说，重力G的效果等价于F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2．G=F1+F2叫做把重力G分解．类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2．在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj．①Oxyijaa=（x，y），②其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．显然，i=（1，0），j=（0，1），0=（0，0）．这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作Oxyija如图，在直角坐标平面中，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由向量a唯一确定．Oxyijaaxy设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x，y）就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标（x，y）也就是向量OA的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示．daxiOyj12345-5-4-3-2-112345-1-2-3-3-4-5AA1A2cb解：由图可知，同理，例2如图，分别用基底i、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标．a=AA1+AA2=2i+3j，∴a=（2，3）．b=-2i+3j=（-2，3）；c=-2i-3j=（-2，-3）；d=2i-3j=（2，-3）．练习请大家在图中确一组基底，将其它向量用这组基底表示出来．ANMCDB已知梯形ABCD，AB//CD，且AB=2DC，M、N分别是DC，AB的中点．ANMCDB解析：设AB=e1，AD=e2，则有：DC=AB=e11212BC=BD+DC=(AD-AB)+DC=(e2-e1)+e1=-e1+e21212MN=DN-DM=(AN-AD)-DC12=e1-e2-e11214=e1-e214