信号与线性系统分析[总结]

总结第一章信号与系统判断信号周期性连续周期信号f(t)满足f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…离散周期信号f(k)满足f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。总结①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。•sin2t是周期信号，其角频率和周期为ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πs•仅当2π/β为整数时，正弦序列才具有周期N=2π/β。•当2π/β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N=M(2π/β)，M取使N为整数的最小整数。•当2π/β为无理数时，正弦序列为非周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。•两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。总结能量信号与功率信号将信号f(t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为|f(t)|2，在区间(–∞,∞)的能量和平均功率定义为（1）信号的能量EttfEd)(2def（2）信号的功率P222defd)(1limTTTttfTP若信号f(t)的能量有界，即E∞,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时P=0若信号f(t)的功率有界，即P∞,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时E=∞总结信号的时间变换运算1.反转将f(t)→f(–t)，f(k)→f(–k)称为对信号f(·)的反转或反折。从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴反转180o。如f(t)to11反转t→-tf(-t)-11to总结2.平移将f(t)→f(t–t0)，f(k)→f(k–k0)称为对信号f(·)的平移或移位。若t0(或k0)0，则将f(·)右移；否则左移。如f(t)to11右移t→t–1f(t-1)to211左移t→t+1f(t+1)to1-1总结3.尺度变换（横坐标展缩）将f(t)→f(at)，称为对信号f(t)的尺度变换。若a1，则波形沿横坐标压缩；若0a1，则展开。如tof(t)1-22t→2t压缩to1-1f(2t)1t→0.5t展开to1-4f(0.5t)4总结平移、反转、尺度变换相结合tof(t)1-22例1已知f(t)，画出f(–4–2t)。f(t-4)426to1压缩，得f(2t–4)f(2t-4)213to1反转，得f(–2t–4)-1-3f(-2t-4)to1右移4，得f(t–4)三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t进行。总结若已知f(–4–2t)，画出f(t)。-1-3f(-2t-4)to1反转，得f(2t–4)f(2t-4)213to1展开，得f(t–4)to1f(t-4)246左移4，得f(t)tof(t)1-22总结阶跃函数和冲激函数)(d)(ttt1d)(00)(tttttttd)(d)(ttd)()()()0()()(tftft)0(d)()(fttft)()()()(000tttftttf1atta)0('d)()('fttft)0()1(d)()()()(nnnfttft)(d)()(00tfttfttf(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)ttttd)()(1||1)()()(taaatnnn)()(tt)()(tt0d)(tt总结0,00,1)(defkkkf(k)δ(k)=f(0)δ(k))0()()(fkkfkf(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)0,00,1)(defkkkδ(k)=ε(k)–ε(k–1)kiik)()(0)()(jjkk总结系统性质分析af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)线性性质：时不变性：f(t)→yzs(t)f(t-td)→yzs(t-td)直观判断方法：若f(·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。因果，稳定（见第七章）。总结第二章连续系统的时域分析系统的时域求解，冲激响应，阶跃响应。时域卷积：dtfftftf)()()(*)(2121图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？tf2(t)-1131-1f1(t)t2-22ττττf1(-τ)f1(2-τ)解：d)2()()2(12fff（1）换元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）积分，得f(2)=0（面积为0）总结卷积积分的性质f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)f(t)*δ’(t)=f’(t)f(t)*ε(t)tftfd)(d)()(ε(t)*ε(t)=tε(t)nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121]d)([*)()(*]d)([d)](*)([212121tttftftffff在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)若f(t)=f1(t)*f2(t)，则f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)总结常见的卷积公式12()()(1)(1)(1)21()[()]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1()()(nnatatatatatKftKftfttftfttfttftfttftfttfttfttftttttetetteteteteaa波形的净面积值1212)()()1()()(1)()()()()()()atatatatTmmetaatetetafttfttmTftmT总结1212()*()()()ftftfftd1212()()()Rtfftd卷积和相关总结第三章离散系统的时域分析差分与差分方程，时域解法，单位序列响应，阶跃响应卷积和iikfifkf)()()(21例1：f1(k)、f2(k)如图所示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？解：（1）换元（2）f2(i)反转得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5iififf)2()()2(21012k-1f1(k)1.511.521f2(k)01233-2-2-1kiiiif2(–i)f2(2–i)总结3，4，0，62，1，5解:×————————15，20，0，303，4，0，66，8，0，12+————————————6，11，19，32，6，30例2f1(k)={0，2，1，5，0}↑k=1f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=0求f(k)=f1(k)*f2(k)f(k)={0，6，11，19，32，6，30}↑k=1注：教材中提到的列表法与这里介绍的不进位乘法本质是一样的。总结f(k)*ε(k)=kiif)([f1(k)*f2(k)]=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k));()(*)()1(kfkkf);()(*)()2(00kkfkkkf);()(*)()3(kkk);()(*)()4(2121kkkkkkk);(*)()(*)()5(121211kkfkfkfkkf)(*)()(*)()6(12212211kkfkkfkkfkkf)(*)()(*)(22112121kfkkkfkkkfkf常用卷积和公式总结第四章傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶级数的三角形式110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb10)cos(2)(nnntnAAtf式中，A0=a022nnnbaAnnnabarctan可见An是n的偶函数，n是n的奇函数。an=Ancosn，bn=–Ansinn，n=1,2,…总结傅里叶级数的指数形式e)(jtnnnFtfde)(122jTTtnnttfTF傅里叶系数之间关系nnnnAbaF212122nnnabarctan)j(21e21ejnnnnnbaAFFnnn的偶函数：an，An，|Fn|n的奇函数:bn，nnnnAacosnnnAbsinnnF2TttfTP02d)(1总结波形的对称性与谐波特性22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb)()(tftf1.f(t)为偶函数——对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数——对称于原点an=0，展开为正弦级数。)()(tftf3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)f(t)t0TT/2傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即：a0=a2=…=b2=b4=…=04.f(t)为偶谐函数——f(t)=f(t±T/2)傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0f(t)t0TT/2总结周期信号的频谱将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn。总结周期信号频谱的特点谱线的结构与波形参数的关系T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多。一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。总结傅里叶变换()()edjtFjfttde)(21)(tjjFtfdttfF)()0(d)(21)0(jFfF(jω)一般是复函数，写为F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)总结归纳记忆：1.F变换对2.常用函数F变换对：t域ω域ttfFtde)()(jjtFtftde)(j21)(jδ(t)ε(t)j1)(e-tε(t)j1gτ(t)2Sasgn(t)j2e–|t|222112πδ(ω)