第二章----Z变换

第二章Z变换第2章z变换2.1引言2.2Z变换2.2.1Z变换的定义2.2.2Z变换的收敛域2.3Z反变换2.3.1围线积分法（留数法）2.3.2部分分式展开法2.3.3幂级数展开法（长除法）2.4Z变换的性质2.5拉氏变换、傅氏变换与Z变换的关系2.5.1拉氏变换与Z变换2.5.2傅氏变换与序列的Z变换第2章z变换2.6序列的傅里叶变换2.7傅里叶变换的一些对称性质2.8离散系统的系统函数，系统的频率响应2.8.1因果稳定系统2.8.2系统函数和差分方程的关系2.8.3系统频率响应的意义2.8.4频率响应的几何确定法2.8.5有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR）第2章z变换2.1引言我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频率分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分方程描述。第2章z变换离散时间信号与系统中频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。第2章z变换2.2.1Z变换的定义一个离散序列x(n)的Z变换定义为2.2Z变换nnznxzX)()(式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z变换，也即)()]([zXnxZ(2-1)(2-2)第2章z变换这种变换也称为双边Z变换，与此相应的单边Z变换的定义如下：0)()(nnznxzX这种单边Z变换的求和限是从零到无穷，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Ｚ变换对信号进行分析和变换。第2章z变换2.2.2Z变换的收敛域显然，只有当式（2-1）的幂级数收敛时，Z变换才有意义。对任意给定序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。按照级数理论，式（2-1）的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求nnMznx|)(|(2-3)第2章z变换要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行，这个范围就是收敛域。一般收敛域用环状域表示，即Rx-|z|Rx+收敛域是分别以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环状域（图中的斜线部分）。Rx-和Rx+称为收敛半径。当然Rx-可以小到零，Rx+可以大到无穷大。常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：)()()(zQzPzX第2章z变换|z|＝Rx－ojIm[z]Re[z]|z|＝Rx＋第2章z变换分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。Z平面上收敛域的位置，或者说Rx-及Rx+的大小和序列有着密切的关系，分别讨论如下。（1）有限长序列:序列x(n)只在有限区间n1≤n≤n2之内才具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零。也即nnnnnxnx其他0)()(21第2章z变换其Z变换为21)()(nnnnznxzX设x(n)为有界序列，由于X(z)是有限项级数之和，除0与∞两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括∞点；如果n20，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括∞点。具体有限长序列的收敛域表示如下：||00,0||00,0||00,0212121znnznnznn时时时有时将开域(0,∞)称为“有限Z平面”。第2章z变换例2-1x(n)=δ(n)，求此序列的Z变换及收敛域。解这是n1=n2=0时有限长序列的特例，所以收敛域应是整个z的闭平面(0≤|z|≤∞)，如图2-6所示。||01)()]([zznnZnn第2章z变换图2-6δ(n)的收敛域(全部Z平面)ojIm[z]Re[z]第2章z变换例题求矩形序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解)1(21101)()(NNnnnnNzzzzznRzX这是一个有限项几何级数之和。因此||011)(1zzzzXN第2章z变换（2）右边序列：右边序列是指x(n)只在n≥n1时有值，在nn1时x(n)=0。其Z变换为01)()()()(11nnnnnnnnznxznxznxzX(2-5)此式右端第一项为有限长序列的Z变换，按上面讨论可知,它的收敛域为有限Z平面；而第二项是z的负幂级数，按照级数收敛的阿贝尔（N.Abel）定理可推知，存在一个收敛半径Rx-，级数在以原点为中心，以Rx-为半径的圆外任何点都绝对收敛。因此，综合此二项，只有二项都收敛时级数才收敛。所以，如果Rx-是收敛域的最小半径，则右边序列Z变换的收敛域为Rx-|z|∞右边序列及其收敛域如图1-23所示。第2章z变换图1-23（n10，|z|=∞除外）ojIm[z]Re[z]Rx－第2章z变换因果序列是最重要的一种右边序列，即n1=0的右边序列。也就是说，在n≥0时x(n)有值，n0时x(n)=0，其Z变换级数中无z的正幂项，因此级数收敛域可以包括|z|=∞。||)()(0zRznxzXxnn(2-6)Z变换收敛域包括|z|=∞处是因果序列的特征。第2章z变换例2-2x(n)=anu(n),求其Z变换及收敛域。解这是一个因果序列，其Z变换为101011)()()(azazzaznuazXnnnnnnnn|z||a|这是一个无穷项的等比级数求和，只有在|az-1|1即|z||a|处收敛如图2-7所示。故得到以上闭合形式的表达式，由于,故在z=a处有一极点(用“×”表示)，在z=0处有一个零点(用“○”表示)，收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。azzaz111第2章z变换收敛域上函数必须是解析的，因此收敛域内不允许有极点存在。所以，右边序列的Z变换如果有N个有限极点｛z1,z2,…,zN｝存在，那么收敛域一定在模值为最大的这一个极点所在圆以外，也即|]|,|,||,max[|21NxzzzR对于因果序列，∞处也不能有极点。第2章z变换ojIm[z]Re[z]|a|图1-24a图2-7第2章z变换（3）左边序列:左边序列是指在n≤n2时x(n)有值，而在nn2时x(n)=0，其Z变换为2210)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzX等式第二项是有限长序列的Z变换，收敛域为有限Z平面；第一项是正幂级数，按阿贝尔定理，必存在收敛半径Rx+，级数在以原点为中心，以Rx+为半径的圆内任何点都绝对收敛。如果Rx+为收敛域的最大半径，则综合以上两项，左边序列Z变换的收敛域为xRz||0如果n2≤0，则式（2-7）右端不存在第二项，故收敛域应包括z=0，即|z|Rx+。(2-7)第2章z变换例2-3x(n)=-anu(-n-1),求其Z变换及收敛域。解这是一个左边序列。其Z变换为nnnnnnnnnzazaznuazX11)1()(此等比级数在|a-1z|1，即|z||a|处收敛。因此||||111)(111azazazzzazazX序列Z变换的收敛域如图2-8所示。函数在z=a处有一极点，整个收敛域在极点所在圆以内的解析区域。111azazz第2章z变换图2-8左边序列收敛域ojIm[z]Re[z]a|z|＝|a|第2章z变换对于左边序列，如果序列Z变换有N个有限极点｛z1,z2,…,zN｝存在，那么收敛域一定在模值为最小的这一个极点所在圆以内，这样X(z)才能在整个圆内解析，也即Rx+=min［|z1|,|z2|,…,|zN|］由以上两例可以看出，Ｚ变换表达式是完全一样的。所以，只给出Z变换的闭合表达式是不够的，是不能正确得到原序列的。必须同时给出收敛域，才能惟一地确定一个序列。这就说明了研究收敛域的重要性。第2章z变换（4）双边序列：一个双边序列可以看作一个右边序列和一个左边序列之和，即nnnnnnznxznxznxzX01)()()()((1-62)因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|Rx-;第二项为左边序列，其收敛域为|z|Rx+。如果Rx-Rx+，则存在公共收敛区域，X(z)有收敛域Rx-|z|Rx+这是一个环状区域。如果Rx-Rx+，则无公共收敛区域，X(z)无收敛域，也即在Z平面的任何地方都没有有界的Ｘ(z)值，因此就不存在Z变换的解析式，这种Ｚ变换就没有什么意义。第2章z变换例1-9x(n)=a|n|,a为实数，求其Z变换及收敛域。解这是一个双边序列，其Z变换为01)()(nnnnnnnnzazaznxzX设||/1||1)(||||11)(12101azazazzazXazazzazXnnnnnn第2章z变换若|a|1，则存在公共收敛域||/1||||)1)(()1(1111)()()(2121azaazazzaazazzXzXzX其序列及收敛域如图2-9所示。若|a|≥1，则无公共收敛域，因此也就不存在Z变换的封闭函数，这种序列如图。序列两端都发散，显然这种序列是不现实的序列。第2章z变换图1-26双边序列及收敛域jIm[z]Re[z]1/aoaa|n|ono＜a＜1第2章z变换Z变换无收敛域的序列a|n|a＞1on第2章z变换表2-1几种序列的Z变换第2章z变换2.3Z反变换已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变换，x(n)=Z-1［X(z)］Z若xxnnRzRznxzX||)()((2-10)则),()(21)(1xxncRRcdzzzXjnx(2-12)第2章z变换图2-11围线积分路径ojIm[z]Re[z]|z|＝Rx－c|z|＝Rx＋第2章z变换证cmnmcnmmcndzzjmxdzzzmxjdzzzXj1)(1121)()(21)(21该积分路径c在半径为R的圆上，即z=RejθRx-RRx+因为整数kkkdeRdeRjdzzjjkkjkjckck,00012][Re2121)1(11(2-13)第2章z变换这个积分公式（2-13）也称为柯西积分定律。因此cmnmnxdzzjmx)(21)()1(或cxxnRRcnxdzzzXj),()()(211直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上,求Z反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。一般求Z反变换的常用方法有三种：围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展开法。第2章z变换cknknzzzXsdzzzXj],)([Re)(21112.3.1围线积分法（留数法）这是求Z反变换的一种有用的分析方法。根据留数定理，若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续,在c以内有K个极点zk，而在c以外有M个极点zm（M、K为有限值），则有(2-14)或cmnmnzzzXsdzzzXj],)([Re)(2111(2-15)第2章z变换R