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第五章脉冲编码调制本章内容：●引言●脉冲编码调制(PCM)基本原理●低通与带通抽样定理●实际抽样●模拟信号的量化●PCM编码原理引言模拟信号数字传输的步骤：（1）把模拟信号数字化，即模数转换（A/D）（2）数字传输（3）把数字信号还原为模拟信号，即数模转换（D/A）。说明：由于A/D，D/A变换的过程通常由信源编（译）码器实现，所以我们把发端的A/D变换称为信源编码，而收端的D/A变换称为信源译码，如语音信号的语音编码。模拟信号数字化的方法：大致可划分为波形编码和参量编码两大类。波形编码：直接把时域波形变换为数字序列，比特率通常在16kb/s~64kb/s；目前用的最普遍的波形编码方法有PCM和M。Δ参量编码：利用信号处理技术，提高语音信号的特征参量，再变换为数字代码，起比特率在16kb/s以下。5.1PCM基本原理PCM概念是1937年又法国工程师AlecReeres最早提出来的。脉冲编码调制简称脉码调制，是一种将模拟语音信号变换成数字信号的编码方式，主要包括：抽样、量化、编码。图1PCM原理图抽样：把连续时间模拟信号转换成离散时间连续幅度的抽样信号。量化：把离散时间连续幅度的抽样信号转换成离散时间离散幅度的数字信号。编码：将量化后的信号编码形成一个二进制码输出。国际标准化的PCM码是一位码代表一个抽样值。说明：（1）预滤波：把原始语音信号的频带（40~10000Hz左右）限制在300~3400Hz标准的长途模拟电话的频带内。（2）在解调器过程中，一般采用抽样保持电路，所以LPF均需要采用x/sinx型频率响应以补偿抽样保持电路引入的频率失真sinx/x。（3）的失真主要来源于量化以及信道传输误码，通常用信号与量化噪声的功率比（S/N）来表示。（4）PCM编码过程是模拟信号调制一个二进制脉冲序列，载波是脉冲序列，调制改变脉冲序列的有无或“1”，“0”，所以PCM称为脉冲编码调制。)(ˆtx5.2低通与通带抽样定理抽样定理实质：是一个连续模拟信号经抽样变成离散序列后，能否由此离散序列值重建原始模拟信号的问题。大意是如果对一个频带有限的时间连续的模拟信号抽样，当抽样速率达到一定数值后，那么根据它的抽样值就能够重建信号。也就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，只需要传输按抽样定理得到的抽样值即可。因此，抽样定理是模拟信号数字化的理论依据。抽样定理分类：（1）根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；（2）根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等间隔的，又分为均匀抽样定理和非均匀抽样定理；（3）根据抽样脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又可以分为理想抽样和实际抽样。5.2.1低通抽样定理内容：一个频带限制在内的连续信号，如果抽样频率大于或等于，则可以由抽样序列无失真地重建原始信号。),0(Hf)(txSfHf2)}({SnTx)(tx混叠失真：若，会产生的失真。HSff2设为低通信号，抽样脉冲序列是一个周期性冲激函数)(tx)(tTδ。时域：抽样过程可以看成是与)(tx)(tTδ相乘，即抽样信号。)()()(ttxtxTSδ=∑∞−∞=−=nSTnTtt)()(δδ频域：∑∞−∞=−=nSSTnT)(2)(ωωδπωδ∑∑∞−∞=∞−∞=−=−∗=∗=nSSnSSTSnXTnXTXX)(1])()([1)]()([21)(ωωωωδωωδωπω)2(1HSfT=是最大允许抽样间隔，它被称为奈奎斯特间隔，相对应的最低抽样速率称为奈奎斯特速率。HSff2=说明：抽样后信号的频谱)(ωSX由无限多个间隔为Sω的)(ωX相加而成，若HHSωωω≥−即：HSff2≥则在相邻的)(ωX之间没有重叠，于是经过截止频率为Hω的理想低通滤波器后，可无失真地恢复原始信号。如果HSωω2，则频谱间出现混叠现象，此时不可能无失真地重建原始信号。图2抽样后的频谱图3混叠现象HSff2≥HSff2≥5.2.2内插公式从频域上看，抽样后信号经过传递函数为)(ωH的LPF后，其频谱为SSOTHXX)()()(ωωω=⎩⎨⎧≤=HHHωωωωω,0,1)(从时域上看，重建信号可以表示为：∑∞−∞=−−=∗=nSHSHSSSnTtnTtnTxTtxthtx)()(sin)(1)()()(ˆωω该式是重建信号的时域表达式，称为内插公式。说明：以奈奎斯特速率抽样带限信号可以由其抽样值利用内插公式重建。这等效为将抽样原信号通过一个冲激响应为)(txttHHωωsin的LPF来重建。)(tx5.2.3带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号：⎩⎨⎧−=，低通信号，带通信号，，BfBfffBffLLLHHL),(带通抽样定理：其频率限制在~的带通信号的最小抽样频率LfHf)1(222)(22NMBNMBBNNBfBfHS+=+=−+=其中：带宽B=-，M=[/(-)]-N,N为不超过/(-)的最大正整数。由此可知,必有0≤M1。HfLfHfHfLfHfHfLf说明：高频窄带信号，大而B小，当然也大。因此带通信号通常可按2B速率抽样；HfLf当2B(1+M/N)时可能出现频谱混叠现象（这一点是与低频现象不同的）；Sf带通抽样定理在频分多路信号的编码以及语音信号的子带编码器中有很重要的应用。5.3实际抽样理想抽样：抽样脉冲序列是理想冲激脉冲序列)(tTδ，实际是不可能实现的。平顶抽样：抽样脉冲具有一定持续时间，在脉宽期间其幅度不变的；自然抽样：抽样脉冲具有一定持续时间，在脉宽期间其幅度随信号幅度变化。5.3.1自然抽样设抽样脉冲序列，为任意形状脉冲。自然抽样时，抽样过程实际是相乘过程，即∑∞−∞=−=nSnTtptc)()()(tp)()()(tctxtxS⋅=)(tc是周期性信号，可以展成付氏级数。频谱：∑∞−∞=−=nSnnXCx)()(ωωω说明：自然抽样与理想抽样信号的频谱，其差别仅在于差一常数。一般情况下，随机而变，但每个频谱分量的形状不变。SnTCnC5.3.2平顶抽样实现原理：由理想抽样和脉冲形成电路产生。如p111图5-10所示∑∞−∞=−==nSTSnTttxttxtx)()()()()(δδ∑∞−∞=−=∗=nSSSSfnTthnTxthtxtx)()()()()(∑∞−∞=−==nSSSSfTHnXHXX)()()()()(ωωωωωω平顶抽样信号的频谱：∑∞−∞=−=nSSSfnXTAX)2/()2/sin()()(ωτωτωωτω孔径失真：平顶抽样时，加权项)2/()2/sin(ωτωτ使频谱分量发生的变化。抵消孔径效应失真的方法：接收端采用频率响应为)2/sin(2/ωτωτ的滤波器进行补偿。说明：以上按自然抽样和平顶抽样均能构成PAM通信系统，也就是说可以在信道中直接传输抽样后的信号，但由于它们抗干扰能力差，目前很少实用。它被性能良好的脉冲编码调制所取代。5.4标量量化定义：利用预先规定的有限个电平来表示模拟信号抽样值的过程称为量化。量化电平：量化器Q输出L个量化值Lkyk,,2,1,L=。常称为重建电平或量化电平。ky分层电平：当输入量化器的模拟信号抽样值x落在与之间时，量化器输出电平为：kx1+kxkyLkxxxQykkk,,2,1}{1L=≤=+kx称为分层电平或判决阈值。均匀量化和非均匀量化：，kkkxx−=Δ+1Δ=Δk称为均匀量化，否则称为非均匀量化。编码：L个量化电平用n位二进制码组来表示称为编码。nL2=。例：图4量化过程示意图量化误差（量化噪声）：)(xQxyxq−=−=，有量化误差就好比如有一个噪声叠加在原来的信号上起干扰作用，故量化误差又称为量化噪声。量化噪声一般用均匀误差来度量。设输入信号x的概率密度为，则量化噪声)(xpxdxxpxQxxQxExq)()]([]))([(222∫∞∞−−=−=σ在给定消息源的情况下，是已知的。因此，量化误差与量化间隔的分割有关，即与集合以及量化电平集合有关。)(xpx2qσ}{kx}{ky量化器的理论就是研究如何使最小或符合一定规律。最佳量化器就是在给定及量化电平数L的条件下，求出一组分层电平值与量化电平值，2qσ)(xpx}{kx}{kyLk,,2,1L=，使为最小值。2qσ5.5最佳量化器思想：由Lloyd-Max于1960年提出，求解与二组集合，使量化误差的均方值最小，称为Lloyd-Max量化器在一般情况下。}{kx}{ky2qσ取最小值的必要条件是：Lkxkq,,3,2,02L==∂∂σLkykq,,2,1,02L==∂∂σ0])()()()([111221=−+−∂∂∫∫+−−dxxpyxdxxpyxxxxxkxxxkkkkk)(,,3,2,)(21,1,,∗=+=−LkyyxoptkoptkoptkL∞=−∞=+optLoptxx,1,10])()([12=−∂∂∫+dxxpyxyxxxkkkk(**))()(,1,,1,,dxxpdxxxpyoptkoptkoptkoptkxxxxxxoptk∫∫++=式（*）表明分层电平应取在相临重建电平的中点；式（**）表明重建电平应取在量化间隔的质心上。基本步骤：（a）给定初始址，由式（**）在给定y01=x时求出；2x（b）由式（*），根据，求出；2x1y2y（c）由式（**），根据，求出。2y2x3y重复（a）—（c）步骤，可求出及，然后代入式（**），},,,{21LxxxL},,,{21LyyyLkx∞=+1kx时，右边是否等于。若不等，则改变，重复上述步骤，一直到式（**）二端的误差满足给定的容差为止。此时，即为最佳量化器的参考值。Ly1y}{kx}{kyL=2时，式（*）和式（**）可用解析法求解。令∞==−∞=321,0,xxx2,221Δ=+=Δ−=−=δδyy若为对称分布，)(xpxdxxxpdxxpdxxxpyxxxopt∫∫∫∞∞∞===0002)(2)()(δ22min2)(optxqδσσ−=当L1时，可以认为在之间近似于常数，则：],[,1,optkoptkxx+)(xpx)(kxp)(21)()(,,1,,1,,1,optkoptkxxkxxxkxoptkxxdxxpdxxxpyoptkoptkoptkoptk+=≈+∫∫++上式表明，在L1时，最佳量化电平恰好在分层电平的中点。optky,在L1时，输入电平落在第k层量化间隔内的概率：kkxkkkkkkxpxxxpxxxPpΔ=−=≤=++)())((}{11∑∑∑∫===Δ=Δ≈−=+LkkxLkkkLkxxxkqxppdxxpyxkk1312122)(121121)()(1σ当很小时，上式还可以写成积分形式，有kΔdxxpVVxkq∫−Δ=)(12122σ其中V表示量化器的最大量化电平。量化器过载噪声：输入电平超出),(VV−时，称为量化器过载，其量化噪声称为过载噪声。定义为：−=++−=∫∫∫∞−∞−∞为对称分布时注：)()()(2)()()()(2222xpdxxpVxdxxpVxdxxpVxxVxVxVxqoσ总的量化噪声应为不过载噪声和过载噪声之和，即：2qoσ222qoqqsσσσ+=5.6均匀量化定义：均匀量化器是指在整个量化范围内量化间隔都相等的量化器。量化间隔：若量化范围内，量化间隔数为L，则均匀量化器的量化间隔),(VV−LkLVk,,2,1,2L==Δ=Δ量化误差：如在均匀量化的量化范围内，每个量化间隔内的量化电平均取值在各区间的中点。在量化范围内，其最大量化误差（指绝对值）不超过半个量化间隔)(maxtq2Δ，即：2)(maxΔ≤tq（量化范围）2)(maxΔtq（过载区）当信号不过载时，量化噪声2321212231212121LVppLkkLkkq=Δ=Δ=Δ=∑∑==σ说明：均匀量化器不过载量化噪声功率与信号统计特性无关，而只与量化间隔有关。应当强调指出，上式是在分层很密，且各层之间量化噪声相互独立的情况下才成立。信噪比：是衡量量化器性能的主要技术指标，即信号功率与量化噪声功率之比值2qSσ。（1）正弦信号当输入信号为正弦波，且信