维纳滤波研究

维纳滤波研究XXX摘要：滤波问题，指的就是从获得的信号与干扰中尽可能地滤除干扰，分离出所期望的信号。维纳滤波是基于最小均方误差的基础上的维纳滤波器设计，使其与输入信号滤波后的输出在最小平方意义下与期望输出最佳逼近，寻求最小均方误差的实质其实就是解维纳-霍夫方程。关键词：维纳滤波；最小平方准则；维纳-霍夫方程ResearchofWienerFilteringXXXAbstract：Filteringissueistodisposethesignalthathasbeeninterferedwith,toseparatetheanticipantsignal.Thedissertationdesignsawienerfilterbasinguponminimummean-squareerror.Infact,theessentialofseekingminimummean-squareerrorissolvingtheWiener-Hopfequation.Keywords：WienerFiltering;MinimumMean-Square;Wiener-HopfEquation引言滤波技术是信号分析、处理技术的重要分支，无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传递是至关重要的。信号分析检测与处理的一个十分重要的内容就是从噪声中提取信号，实现这种功能的有效手段之一是设计一种具有最佳线性过滤特性的滤波器，当伴有噪声的信号通过这种滤波器的时候，它可以将信号尽可能精确地重现或对信号作出尽可能精确的估计，而对所伴随噪声进行最大限度地抑制。维纳滤波器就是这种滤波器的典型代表之一。1维纳滤波理论基础1.1维纳滤波背景介绍维纳滤波理论是由数学家N∙维纳(NorbertWiener,1894~1964)于第二次世界大战期间提出的。这一科研成果是这一时期重大科学发现之一，他提出了线性滤波的理论和线性预测的理论，对通信工程理论和应用的发展起了重要的作用。维纳滤波就是为纪念他的重要贡献而命名的。维纳是著名的数学家，后来被誉为信息理论家。维纳的著作不仅是一个很好的创见，而且具有结合工程的实际意义，是线性滤波理论研究的一个重要开端。在第二次世界大战中，由于雷达的发明以及防空炮火控制的任务，把大量有修养的数学家和物理学家都动员到信息科学这个研究领域中来了，这个时候人们活跃于这个领域，并有许多重大的科学创造。数学家维纳对于滤波理论的研究成果，就是这时候重大的科学创见之一。通讯与控制中的滤波问题，指的是从获得的信号与干扰中尽可能地滤除干扰，分离出所期望的信号，或者说，是通过对一系列带有误差的实际测量数据的处理，得出证明：在一定条件下，处在统计平衡的时间序列的时间平均等于相平均。维纳正是基于这点提出了他著名的滤波和预测理论。滤波问题就是尽可能地恢复一个被噪声干扰了的信号的问题。实质上，就是预测一个被噪声干扰了的时间序列的问题，因此，滤波问题也可以视为一个预测问题。数学上讲，预测就是从一个时间序列的过去的数据估算整个序列的统计参数。工程上的滤波问题也是理论上的一类统计估计问题，最佳线形滤波是最佳线性估计的方法之一，在最佳估计中最小均方误差估计是最有现实意义的。估计理论的课题是众多的，最小均方误差估计只是估计理论的一个小的分支。然而，它却是最重要又最富有实际意义的一个分支，对系统所加的线性条件起初是为了简化理论分析，非线性滤波问题是在理论处理上比线性滤波问题要困难和复杂的多，但是后来证明：在一定条件下，在最小均方误差准则下得到的最佳线性系统是所有系统中的最佳者。近代滤波理论的发展对于信息科学的发展是有重大贡献的，它概括了通讯与控制中信息过滤的统计本质。这是由于滤波理论与通讯和控制中的许多课题有密切的联系，从而赋予了滤波理论以极大的生命力，滤波理论本来是一个小的研究领域，但是它联系着许多大的广泛的研究领域，因此它的价值已经超出了它起源时自身的价值，也就是它能够继续活跃地向前发展的保证。几十年来滤波理论已经发展成了一个广阔的研究领域，可以有许多不同的方法来介绍它的内容，有的可以选择不同的重点。本文主要是关于维纳滤波的，介绍维纳滤波的基本概念以及讲其维纳滤波的应用。从数学的观点来说滤波理论是统计学中的估计理论的一个重要分支，从工程的观点来看它又是系统工程研究的一个重要组成部分[1]。1.2维纳滤波原理介绍h(n)y(n)x(n)s(n)+v(n)图1.1维纳滤波器原理在生产实践中，我们所观测到的信号都是受到噪声干扰的。如何最大限度的抑制噪声，并将有用信号分离出来，是信号处理中经常遇到的问题，信号处理的目的就是要得到不受干扰影响的真正信号。相应的处理系统称为滤波器。这里，我们只考虑加性噪声的影响。我们的目的是为了得到不含噪声的信号是𝑠(𝑛)，也称为期望信号，若滤波系统的单位脉冲响应为h(n)，系统的期望输出用𝑦𝑑(𝑛)表示，𝑦𝑑(𝑛)应等于信号的真值𝑠(𝑛)；系统的实际输出用y(n)表示，y(n)是𝑠(𝑛)的逼近或估计，用公式表示为𝑦𝑑(𝑛)=𝑠(𝑛)，y(n)=𝑠̂(𝑛)。因此，对信号x(n)进行处理，可以看成是对期望信号的估计，这样可以将h(n)看作是一个估计器，也就是说，信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。若已知x(n),x(n−1),…,x(n−m)，要估计当前的信号值𝑠̂(𝑛)，称为过滤或滤波，维纳(Wiener)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号的过滤问题，并以估计的结果与信号真值之间的均方误差最小作为最佳准则。设计维纳滤波器的任务，实际上就是选择h(n)，使其输出信号y(n)与期望信号𝑑(𝑛)误差的均方值为最小。根据维纳滤波器时域求解的方法，可以得到：y(n)=h(n)∗x(n)=∑ℎ(𝑚)𝑥(𝑛−𝑚),𝑛=0,1,2…+∞𝑚=0设期望信号为d(n)，误差信号为e(n)，则e(n)=d(n)−y(n)=s(n)−y(n)E[|e(n)|2]=E[|d(n)−y(n)|2]要使均方误差最小，需满足𝐸[|𝑒(𝑛)|2]𝜕ℎ𝑗=0进一步导出维纳-霍夫方程为：𝑟𝑥𝑑(𝑘)=∑ℎ(𝑚)𝑟𝑥𝑥(𝑘−𝑚)=ℎ(𝑘)∗𝑟𝑥𝑥(𝑘),𝑘=0,1,2…𝑀−1𝑚=0将维纳-霍夫方程写成矩阵形式为：𝑅𝑥𝑑=𝑅𝑥𝑥ℎ对上式求逆，得到h=𝑅𝑥𝑥−1𝑅𝑥𝑑上式表明已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算，得到维纳滤波器的最佳解。2维纳滤波发展现状20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则（滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小），求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。维纳滤波是40年代在线性滤波理论方面所取得的最重要的成果。利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法，1942年美国科学家N.维纳为解决对空射击的控制问题所建立。从噪声中提取信号波形的各种估计方法中，维纳(Wiener)滤波是一种最基本的方法，适用于需要从噪声中分离出的有用信号是整个信号（波形），而不只是它的几个参量。设维纳滤波器的输入为含噪声的随机信号。期望输出与实际输出之间的差值为误差，对该误差求均方，即为均方误差。因此均方误差越小，噪声滤除效果就越好。为使均方误差最小，关键在于求冲激响应。如果能够满足维纳－霍夫方程，就可使维纳滤波器达到最佳。根据维纳－霍夫方程，最佳维纳滤波器的冲激响应，完全由输入自相关函数以及输入与期望输出的互相关函数所决定。维纳滤波器的优点是适应面较广，无论平稳随机过程是连续的还是离散的，是标量的还是向量的，都可应用。对某些问题，还可求出滤波器传递函数的显式解，并进而采用由简单的物理元件组成的网络构成维纳滤波器。维纳滤波器的缺点是，要求得到半无限时间区间内的全部观察数据的条件很难满足，同时它也不能用于噪声为非平稳的随机过程的情况，对于向量情况应用也不方便。因此，维纳滤波在实际问题中应用不多。实现维纳滤波的要求是：(1)输入过程是广义平稳的；(2)输入过程的统计特性是已知的，根据其他最佳准则的滤波器亦有同样要求。然而，由于输入过程取决于外界的信号、干扰环境，这种环境的统计特性常常是未知的、变化的，因而难以满足上述两个要求。这就促使人们研究自适应滤波器。3维纳滤波应用现状3.1在飞机盲降着陆系统中的应用盲降着陆系统(InstrumentLandingSystem．ILS)又译为仪表着陆系统。是目前应用最为广泛的飞机精密进近和着陆引导系统。它的作用是由地面发射的两束无线电信号实现航向道和下滑道指引。建立一条由跑道指向空中的虚拟路径。飞机通过机载接收设备．确定自身与该路径的相对位置，使飞机沿正确方向飞向跑道并且平稳下降高度。最终实现安全着陆。由于是仪表指针引导飞行员按预定下滑线着陆，无需目视。故又称为盲降着陆系统。该系统为飞行员提供相对预定下滑线的水平和垂直面内的修正指示以及到跑道端口的距离指示。在飞机盲目着陆系统的实际应用中。盲降着陆时，飞机以较慢的恒定速度沿着一个无线电波束下降。为了自动对准跑道，通常要为盲目着陆系统提供两个信号。一个是由无线电波束提供的信号。由航向台提供，它与飞机航向滑离跑道方向的大小成正比；另一个信号由飞机通过自身方位的测量来提供。在这两个信号中，前者是飞机位置信号与高频噪声的叠加。作为前面分系统的𝑥1(𝑛)后者由于飞机下降过程中风向的改变而在信号中引入了低频噪声，作为𝑥2(𝑛)。为了对飞机的位置信号进行最佳估计，采用互补维纳滤波器去除无用噪声信号[2]，提高信噪比。由此，增强了飞机着陆时的精度，提高了飞机自身的安全。3.2在图像处理中的应用在图像处理中，噪声问题是经常会遇到的问题，它使得图像信息受损，降低了信噪比。如何尽可能地滤去噪声，恢复真实的信号．是图像处理中关键的问题。几类简单、常用的滤波器如维纳滤波器和卡尔曼滤波器等都是假定噪声是高斯的且是加性的，噪声和信号相互独立，这样能得到最小均方误差意义下的最优滤波。对于实际问题中遇到的非加性噪声，也能通过基于维纳滤波器的思想计算，求出适合的滤波器算式[3]。比如在处理乘性噪声时使用的方法就是基于维纳滤波器的思想[4]，还有在处理图像运动模糊复原时的频域估计算法中也使用到基于维纳滤波器的一些推广算法[5]。同时，维纳滤波还是一种常见的图像复原方法，其思想是使复原的图像与原图像的均方误差最小原则采复原图像[6]。3.3在桩基检测中的应用[7]高层建筑、桥梁、海工结构及特殊建筑结构，都需采用深桩基础，即使普通建筑结构，在基础状态比较差的情况下，亦需使用桩基来提高结构的稳定性。桩基质量好坏将直接影响到建筑结构的安全。通过对桩在原位施加动力作用的同时测定桩的响应（可以是桩的位移、速度或加速度等），根据作用在桩顶上动荷载的能量大小、桩身应力水平以及能否使桩土间产生一定的塑性位移或弹性位移，用以检测桩的质量和承载力。而在实际数据采集中，由于会受到环境噪音等因素的影响，往往需要先对数据进行维纳滤波，最大限度的去伪存真，保留有用信号，去除干扰信号，提高检测精度。3.4在超声物位计中的应用[8]在各种非接触测量技术中，超声测距是一种非常实用的技术，随着超声技术的逐渐成熟，超声测量作为一种高效、准确、非接触式的测量和检测手段已经广泛地应用于很多行业。超声测距精度和稳定性的关键是准确测量超声波传播时间。当测量距离较远时，换能器的不确定因素将导致测量结果的可靠性变差，所以一般会使用维纳估计器用于确定回波与发射信号间的时间延迟，该维纳估计