大学物理作业

5-9若电荷均匀地分布在长为L的细棒上，求证：（1）在棒的延长线上，且离棒中心为r处的电场强度为：（2）在棒的垂直平分上，且离棒中心为r处的电场强度为：220124QErrL22014QErL证明：（1）考虑棒的延长线上距棒中心为r的P点；xPr12L12LOxdx取坐标如右图所示；在棒上x处取线元dx，线元dx的带电量dq为：QdqdxL若棒为无限长（即L），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。即，的大小dE为：dExPr12L12LOxdxdE的方向为：沿x轴正向；204()QdxdELrx应用电场强度的叠加原理，得到总场强的大小E为：EdE22024()LLQdxLrx011422QLrLrL即，22014QErL总场强的方向为：沿x轴正向。dq在P点的场强的大小dE为：dE2014()dqdErx（2）考虑棒的垂直平分线上距棒中心为r的B点；xyOB12L12LrxdxdExdEydE在棒上x处取线元dx，线元dx的带电量dq为：QdqdxL取坐标如右图所示；该dq在B点产生的场强dE的大小dE为：22014dqdErx2204QdxdELrx即，dE的方向：如右图所示；将dE分解为：sinxdEdEcosydEdE22sinxrx注意到：22cosrrx222204xQdxxdELrxrxxyOB12L12LrxdxdExdEydE所以222204yQdxrdELrxrx即，223204()xQxdxdELrx223204()yQrdxdELrxxxEdE22232024()LLQxdxLrx0yyEdE22232024()LLQrdxLrx220124QrLr积分得：xyEEiEj所以，B点的电场强度为：220124QjrLrxyOB12L12LrxdxdExdEydE当L→∞时，注意到：QL220/1lim214LQLErrL02r结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同；这说明，只满足221rL，带电长直细棒就可看作为无限长带电直线。5-10一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。dSdqdRsin22将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元在点O激发的电场强度为解iρxxdθ4ππ1Εd23220cosRxsinRr由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同，利用几何关系统一积分变量，有ddRRRrxxdqdEcossin2sin2cos4141023023220积分得球心的电场强度为20004cossin2dE或iidE200042cossinyz和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度为12()EEkxiEj的非均匀电场中，求立方体各表面的电场强度通量。OyzxABCDGFH解：对立方体的各个顶点标上符号，如右图所示，（1）对于ABOC平面，x=012EEiEj2Sai=恒矢量所以，ABOCES212()()EiEjai21Ea（2）对于DFGH平面，x=a12()EEkaiEj=恒矢量2Sai所以，DFGHES212[()]()EkaiEjai231Eaka5-15如图所示，边长为a的立方体，其表面分别平行于xy、（3）对于BGHO平面，12()EEkxiEjdSdSk所以，00BGHSEdS（4）对于AFDC平面（类似于BGHO平面），所以，0AFDCSEdS12()EEkxiEjdSdSk（5）对于ABGF平面，12()EEkxiEjdSdSj所以，ABGFSEdS12[()]()SEkxiEjdSj22EazxyOCABGFHD（6）对于CDHO平面（类似于ABGF平面），12()EEkxiEjdSdSjABGFSEdS12[()]()SEkxiEjdSj22Ea所以，因此，整个立方体表面的电场强度通量为：ABOCDFGHBGHOAFDCABGFCDHO223221122()00()EaEakaEaEa3kazxyOCABGFHD5-17设半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为0kr解:k为一常数；试用高斯定理求电场强度0rRrRE与r的函数关系。（你能用电场叠加原理求解这个问题吗？）1dro1rR电场分布也是球对称的，同心球面由于电荷分布具有球对称性，所以上各点电场强度的大小为常量；以同心球面为高斯面，则有：24SEdSEr当0≤r≤R时,高斯面所包围的电荷电量q为:r211104rqkrrdr31104rkrdr4kr204rkrEe4204rkREer应用高斯定理，得：2404Erkr故：204kEr或，（0≤r≤R）当rR时，高斯面所包围的电荷电量q为:211104Rqkrrdr应用高斯定理，得：2404ErkR故：4204kREr或，（rR）31104Rkrdr4kR5-20一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面电荷为Q2，求电场分布。电场强度是否为离球心距离的连续函数？试分析。R1R2R3Q1Q2解：如右图所示，球壳和球面将空间分为四个部分；（1）求球壳内部空间的场强E1由于电荷分布具有球对称性，所以电场的分布也具有球对称性；在球壳内部空间作一半径为r的球面为高斯面S1，如右图所示；则S1面上各点r1S所以，11SEdS1()rR214Er大小相等，方向与各点对应面积矢量元E的dS的方向相同高斯面S1内的电荷q为：0q所以，由高斯定理得到球壳内部空间10E1()rR的电场强度E1为：R1R2R3Q1Q2r2S（2）求球壳内空间的场强E2在球壳内空间作一半径为r的球面为高斯面S2，如右图所示；类似（1）的分析，得到：22SEdS12()RrR224Er高斯面S2内的电荷q为：33113342134()()3QqrRRR33113321()()QrRRR由高斯定理，得到场强E2为：331123320214()QrRERRr12()RrR（3）求球壳与球面间空间的场强E3在球壳与球面间作一半径为r的球面为高斯面S3，如右图所示；类似（1）的分析，得到：R1R2R3Q1Q23Sr33SEdS23()RrR234Er高斯面S3内的电荷q为：1qQ由高斯定理，得到场强E3为：132014QEr23()RrR（4）求球面外空间的场强E44Sr在球壳与球面间作一半径为r的球面为高斯面S4，如上图所示；类似（1）的分析，得到：44SEdS3()Rr244Er高斯面S4内的电荷q为：12qQQ由高斯定理，得到场强E4为：1242014QQEr3()rRR1R2R3Q1Q21E2E4E3E电场强度分布为：10E1()rR331123320214()QrRERRr12()RrR132014QEr23()RrR1242014QQEr3()rR1R2R3R0rE3E4E2E1E电场强度的方向均沿矢径方向。1R2R3R0rE3E4E2E1E各区域的电场强度分布如右图所示。在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r=R3的带电球面两侧，电场强度的跃变量ΔE为：3343||rRrREEE22034QR0这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的结果，且具有普遍性。实际的带电球面都是有一定厚度的球壳，球壳内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场E2，如果球壳的厚度变小，E2的变化就变陡，最后当厚度趋向于零时，E2的变化就变成为跃变。场强度：（1）rR1；（2）R1rR2；（3）rR22R1R解：由于电荷分布在无限长的同轴圆柱面上，电场强度也一定呈对称性分布，沿矢径方向。（1）求rR1的电场强度；在圆柱面R1内作半径为r、高为h的高斯面，如右图所示，只有侧面有电通量，SEdS所以，2EdSEdS侧面底面12Erhrh这个高斯面内的电荷q为：120Erhq=0应用高斯定理，得：，即：10E1()rR5-21两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2（R1R2），单位长度上的电荷为λ；求离轴线为r处的电（2）求R1rR2的电场强度2R1Rqhhr作半径为r（R1rR2）、高为h的高斯面，如右图所示，只有侧面有电通量，所以，SEdS2EdSEdS侧面底面22Erh这个高斯面内的电荷q为：202Erhh应用高斯定理，得：所以，202Er（R1rR2）作半径为r（rR2）、高为h的高斯面，如右图所示，只有侧面有电通量，所以，SEdS2EdSEdS侧面底面32Erh这个高斯面内的电荷q为：320Erh应用高斯定理，得：所以，30E（3）求rR2的电场强度2R1R()qhh0rh在带电面附近，电场强度大小不连续，有一定的跃变；02Er02LrL0与题8-20分析讨论的结果一致。Er01R2R（rR2）5-23已知均匀带电直线附近的电场强度近似为02rEer解:（1）求在r=r1和r=r2两点间的电势差；其中λ为电荷线密度。（2）在点电荷的电场中，我们曾取r→∞处间的电势为零，求均匀带电直线附近的电势能否这样取？试说明。2112rrUEdr（1）由于电场力作功与路径无关，所以取径向为积分路径，则得：（2）不能。因为r∞处的电势与直线上的电势相等。2102rrdrr2102rrredrr201ln2rr和Q2；求（1）各区域的电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面上的电势差为多少？1R2R1Q2Q解：（1）由高斯定理可求得电场分布为：10E12204rQEer123204rQQEer1rR12RrR2rR由电势公式rVEdl，取积分路径沿矢径方向，就可求得各区域的电势分布；1E2E3E5-27两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1当0≤r≤R1时，有：12121123RRrRRVEdlEdlEdl1R2R1Q2Qr12121122200044RRrRRQQQdrdrdrrr1120120211044QQQRRR12010244QQRR同理，当R1≤r≤R2时，有：22223RrRVEdlEdl22112220044RrRQQQdrdrrr11202021144QQQrRR1200244QQrRr同理，当rR2时，有：33rVEdl12204rQQdrr1204QQr1R2R1Q2Qr（2）两个球面间的电势差21122RRVEdl211204RRQdrr1012114QRR5-28一半径为R的无限长带电细棒，其内部的