第4章-多自由度体系的振动分析(中英文)

第4章多自由度体系振动分析Chapter4Multi-DOFsystemDynamicanalysis李小珍，晋智斌，马存明，刘德军，朱艳西南交通大学土木工程学院桥梁工程系地址：眷诚斋3208＃TEL:028-8760332313880808086内容回顾：第3章单自由度体系振动分析Chapter3Single-Degree-of-FreedomSystems3.2.2周期荷载作用下的动力响应分析3.2.3任意荷载作用下的动力响应分析3.2.4突加荷载作用下的动力响应分析3.2.5矩形脉冲荷载作用下的动力响应分析3.2.6任意激励下的受迫振动分析—频域分析方法3.2.1简谐荷载作用下的动力响应分析3.2单自由度体系的受迫振动分析第4周讲课内容——对应Clough书的第三～六章3.1单自由度体系的自由振动分析第3周讲课内容——对应Clough书的第二章•4.1多自由度体系的自由振动分析•4.1Multi-DOFsystemfreevibration4.1.1多自由度体系的振动频率分析（刚度法）Multi-DOFsystemdynamicfrequencyanalysis(rigiditymethod)4.1.2多自由度体系的振型分析（刚度法）Multi-DOFsystemdynamicmodeanalysis(rigiditymethod)4.1.3多自由度体系的振动频率分析（柔度法）Multi-DOFsystemdynamicfrequencyanalysis(flexibilitymethod)4.1.4多自由度体系的振型分析（柔度法）Multi-DOFsystemdynamicmodeanalysis(flexibilitymethod)4.1.5多自由度体系自由振动的通解Generalsolutionofmulti-DOFsystemfreevibration第五周讲课内容，对应Clough书的第9、10、11章。•4.2多自由度体系振型的正交性Orthogonalityofmulti-DOFsystemdynamicmode4.2.1正交的数学概念Mathematicalconceptoforthogonality4.2.2振型向量的正交性及应用Orthogonalityanditsapplicationofdynamicmodevector•4.3多自由度体系的受迫振动分析Multi-DOFsystemforceddynamic4.3.1多自由度无阻尼体系的受迫振动分析Multi-DOFundampedsystemforceddynamicanalysis4.3.2多自由度有阻尼体系的受迫振动分析Multi-DOFdampingsystemforceddynamicanalysis第六周讲课内容，对应Clough书的第12章4-1多自由度体系自由振动Multi-DOFSystemFreeVibration多自由度结构体系运动方程的一般形式：Generalformofequationofmotionofmulti-DOFstructuralsystem)(tFKYYCYME（2-15a）)(tFYYCYME1（2-15b）柔度矩阵表示：Flexibilitymatrixexpression:刚度矩阵表示：Rigiditymatrixexpression:无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：Freedynamicequationofundampedmulti-DOFstructuralsystem:无阻尼多自由度结构体系运动方程：Equationofmotionofundampedmulti-DOFstructuralsystem:)(FtKYYME（4-1）)(YδYtFME1（4-2）0KYYM0YδYM（4-3）（4-4）)(tFKYYCYMEnmmm00000021Mnnnnnnccccccccc212222111211Cnnnnnnkkkkkkkkk212222111211KTnyyy][Y21TEnEEEt]FFF[)(F21nnnnnn212222111211TPnPPP][21质量矩阵Massmatrix刚度矩阵Rigiditymatrix阻尼矩阵Dampingmatrix柔度矩阵Flexibilitymatrix位移向量Displacementvector等效荷载向量Equivalentloadvector荷载位移向量DisplacementvectorinducedbyLoad][YCYMYP4.1.1多自由度体系的振动频率分析（刚度法）Multi-DOFsystemdynamicfrequencyanalysis(rigiditymethod)无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：Undampedmulti-DOFstructuralsystemfreedynamicequation:0KYYM（4-3）假设无阻尼多自由度结构体系自由振动是简谐振动，(4-3)式的特解取如下形式：Assumethatundampedmulti-DOFstructuralsystemfreevibrationisharmonicdynamic,thentheformofparticularsolutionofFormula(4-3)isasfollows:（4-5）),,,()sin()(nittyii321其中：φi，ω，α为未知的待定系数。Whereφi，ωandαareunknownundeterminedcoefficients.单自由度体系无阻尼自由振动的解为：SolutionofsingleDOFsystemundampedfreedynamic:0kyym)sin()(tty假设无阻尼多自由度结构体系自由振动是简谐振动，(4-3)式的特解取如下形式：（4-5）),,,()sin()(nittyii321其中：φi，ω，α为未知的待定系数。Whereφi，ωandαareunknownundeterminedcoefficients.按自由度序号排列成的位移向量可以写成：ThedisplacementvectorarrangedbyDOFsequencenumbercanbewrittenas:)sin(yt其中：φ为位移的幅值向量：Whereφistheamplitudevectorofdisplacement.Tφn21无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：Undampedmulti-DOFstructuralsystemfreedynamicequation:0KYYM（4-3）（4-5）)sin()(ttyii展开此式：Expansion:0002211222212122121211111nnnnnnnnnnnykykykymykykykymykykykym已设第i个运动自由度方向的位移为：AssumethedisplacementofithmotionDOFdirectionis:)sin()(ttyii2(4-5)代入(4-3)式中的第一个方程.(4-5)代入(4-3)式中的第一个方程：Substitudeintothefirstequation:（4-5）)sin()(ttyii展开此式：Expansion:0002211222212122121211111nnnnnnnnnnnykykykymykykykymykykykym01122111112nnktktktmt)sin()sin()sin()sin()sin()(ttyii2（4-3）消去式中的公因子sin(ωt+α)：Eliminatethecommonfactorsin(ωt+α):01122111112nnkkkm01122111112nnkkkm同理,(4-5)代入(4-3)式中的第2,3,…,n个方程,可得到:0002211233223113322222211222nnnnnnnnnnnkkkmkkkmkkkm000000021212212222111211nnnnnnnnmmmkkkkkkkkk0)MK(2改成矩阵形式：称为频率方程或特征方程。Itisnamedasthefrequencyequationofcharacteristcequation.022122222211121211nnnnnnnmkkkkmkkkkmk02MK（4-9）0)MK(2（4-8）要使方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：Iftheequationhasuntrivialsolution,thenthedeterminantofcoefficientmustezero:振型方程：dynamicmodeequation将频率方程展开，可得到一个关于ω2的n次代数方程。Expandthefrequencyequation,obtainan-thorderalgebraicequationofω22iω从频率方程可解得n个正实根；npositiverealrootωicanbeobtainedfromthefrequencyequation2iω开方得到各阶频率，记作：FrequenciesofallorderscanbeobtainedbyextractingT)(ωn21频率方程或特征方程：022122222211121211nnnnnnnmkkkkmkkkkmk频率谱：ω1ω2…ωn，分别称作第1阶频率、第2阶频率…第n阶频率Frequencyspectrum:ω1ω2…ωn，respectively1storderfrequency,2ndorderfrequency…nthorderfrequency.频率向量Frequencyvector结构动力学问题转变为矩阵求特征值问题！！！Dynamicproblemturnsintomatrixeigenvalueproblem.结构动力学问题转变为矩阵求特征值问题。Dynamicproblemturnsintomatrixeigenvalueproblem.举例：2个自由度体系的特征方程为：Thecharacteristicequationof2DOFsystem:0222221121211mkkkmk（4-12）将特征方程行列式展开得：Expandthedeterminantofcharacteristicequation:0211222221211kkmkmk))((这是一个关于ω2的一元二次方程，即：Itisaquadraticequationofω202121122211222211122