平面向量复习课件

知识体系构建专题归纳整合专题一平面向量的线性运算向量的线性运算包括向量及其坐标运算的加法、减法、数乘，向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加法满足交换律、结合律，数乘向量满足分配律．利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．例1(2013·北京海淀调研)如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF→＝()A.12AB→＋12AD→B．－12AB→－12AD→C．－12AB→＋12AD→D.12AB→－12AD→【答案】D【解析】在△CEF中，有EF→＝EC→＋CF→，因为E为DC的中点，所以EC→＝12DC→.因为点F为BC的中点，所以CF→＝12CB→.所以EF→＝EC→＋CF→＝12DC→＋12CB→＝12AB→＋12DA→＝12AB→－12AD→.专题二平面向量的基本定理及向量坐标运算向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则，若已知三点坐标，利用向量证明三点共线时，只需使三点构成的两个向量的坐标对应成比例或利用共线向量定理．例2(1)设P(3，－6)，Q(－5,2)，R的纵坐标为－9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为________．【解析】设R(x，－9)，则PQ→＝(－8,8)，PR→＝(x－3，－3)．由P、Q、R三点共线得－8×(－3)－8(x－3)＝0，解得x＝6.【答案】6(2)已知A(1，－2)、B(2,1)、C(3,2)、D(－2,3)，以AB→、AC→为一组基底来表示AD→＋BD→＋CD→.【解】∵AB→＝(1,3)，AC→＝(2,4)，AD→＝(－3,5)，BD→＝(－4,2)，CD→＝(－5,1)，∴AD→＋BD→＋CD→＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得AD→＋BD→＋CD→＝mAB→＋nAC→，∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)．可得m＋2n＝－12，3m＋4n＝8.解得m＝32，n＝－22.∴AD→＋BD→＋CD→＝32AB→－22AC→.专题三平面向量的数量积求平面向量的数量积的方法有两个：一个是根据数量积的定义，另一个是根据坐标．定义法是a·b＝|a||b|cosθ，其中θ为向量a，b的夹角；坐标法是a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算转为代数问题解决．例3(1)(2012·高考湖北卷节选)已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．(2)设|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，则|3a＋b|的值为________．(3)(2012·高考天津卷)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→·CP→＝－2，则λ＝()A.13B.23C.43D．2【解析】(1)b－3a＝(－2,1)，∴|b－3a|＝5，|a|＝1，(b－3a)·a＝(－2,1)·(1,0)＝－2，∴cos〈b－3a，a〉＝b－3a·a|b－3a||a|＝－25＝－255.(2)∵|3a－2b|＝3，∴9a2－12a·b＋4b2＝9.又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝13.∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9＋6×13＋1＝12.∴|3a＋b|＝23.(3)由题意可知BQ→＝AQ→－AB→＝(1－λ)AC→－AB→，CP→＝AP→－AC→＝λAB→－AC→，且AB→·AC→＝0，故BQ→·CP→＝－(1－λ)·AC→2－λAB→2＝－2.又AB＝1，AC＝2，代入上式解得λ＝23.【答案】(1)－255(2)23(3)B专题四数学思想1．数形结合的思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合的思想，引入向量的坐标表示，使向量运算完全代数化，从而将数与形紧密结合起来．例4已知向量a2＝b2＝1，且a·b＝－12，求：(1)|a＋b|；(2)a与(b－a)的夹角．【解】作AB→＝a，AD→＝b，以AB→、AD→为邻边作▱ABCD，如图所示．由a2＝b2＝1及a·b＝－12得|AB→|＝|AD→|＝1，cos∠BAD＝a·b|a||b|＝－12.又∠BAD∈[0°，180°]，∴∠BAD＝120°.所以四边形ABCD为边长为1且一个内角为120°的菱形，易得(1)|a＋b|＝|AC→|＝1.(2)a与(b－a)的夹角为150°.2．方程思想方程思想在本章应用比较多，如：向量共线、三点共线、平面向量基本定理及其坐标表示中求字母参数，设未知数来表示条件或结论，这是向量“数”方面的体现．例5在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知OP∶PA＝1∶2，OQ∶QB＝3∶2，连接AQ，BP.设它们交于点R，若OA→＝a，OB→＝b，用a与b表示OR→.【解】∵OP∶PA＝1∶2，∴OP→＝13OA→＝13a，同理OQ→＝35b.∵A、R、Q三点共线，∴AR→与AQ→共线，即存在实数m，使得AR→＝mAQ→，∴OR→＝OA→＋AR→＝a＋mAQ→＝a＋m(OQ→－OA→)＝a＋m(35b－a)＝(1－m)a＋35mb.又∵B、R、P三点共线，∴BR→与BP→共线，即存在实数n，使得BR→＝nBP→，∴OR→＝OB→＋BR→＝b＋nBP→＝b＋n(OP→－OB→)＝13na＋(1－n)b.由于a与b不共线，则有1－m＝n3，35m＝1－n，解得m＝56，n＝12.∴OR→＝16a＋12b.栏目导引知识体系构建专题归纳整合章末综合检查第二章平面向量高考真题1．(2011·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()．A.14B.12C．1D．22．(2009·山东高考)设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()．A.PA→＋PB→＝0B.PB→＋PC→＝0C.PC→＋PA→＝0D.PA→－PB→＋PC→＝0栏目导引知识体系构建专题归纳整合章末综合检查第二章平面向量高考真题1．(2011·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()．A.14B.12C．1D．2解析∵a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，∴a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)．又∵(a＋λb)∥c，∴1＋λ3＝24，解得λ＝12.答案B栏目导引知识体系构建专题归纳整合章末综合检查第二章平面向量2．(2009·山东高考)设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()．A.PA→＋PB→＝0B.PB→＋PC→＝0C.PC→＋PA→＝0D.PA→－PB→＋PC→＝0解析∵BC→＋BA→＝2BP→，由向量加法的平行四边形法则知P为AC的中点．如图．∴PC→＋PA→＝0.答案C栏目导引知识体系构建专题归纳整合章末综合检查第二章平面向量3．(2011·辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()．A．－12B．－6C．6D．124．(2010·山东高考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是()．A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2栏目导引知识体系构建专题归纳整合章末综合检查第二章平面向量3．(2011·辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()．A．－12B．－6C．6D．12解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，∴a·(2a－b)＝(2,1)·(5,2－k)＝10＋2－k＝12－k.又∵a·(2a－b)＝0，∴12－k＝0.∴k＝12.答案D栏目导引知识体系构建专题归纳整合章末综合检查第二章平面向量4．(2010·山东高考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是()．A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2解析因为b⊙a＝pn－qm，而a⊙b＝mq－np，所以有a⊙b≠b⊙a，故选项B错误，故选B.答案B栏目导引知识体系构建专题归纳整合章末综合检查第二章平面向量5．(2011·大纲全国)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝()．A.2B.3C.5D.76．(2010·湖南高考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()．A．30°B．60°C．120°D．150°栏目导引知识体系构建专题归纳整合章末综合检查第二章平面向量5．(2011·大纲全国)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝()．A.2B.3C.5D.7解析由|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，得|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×－12＋4＝3.答案B栏目导引知识体系构建专题归纳整合章末综合检查第二章平面向量6．(2010·湖南高考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()．A．30°B．60°C．120°D．150°解析0＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2，∵|a|＝|b|≠0，∴2cos〈a，b〉＋1＝0，cos〈a，b〉＝－12，〈a，b〉＝120°.答案C