毕业论文,求函数极限的方法

JISHOUUNIVERSITY本科生毕业论文题目：求函数极限的方法作者：学号：所属学院：专业年级：指导教师：职称：完成时间：独创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。论文题目：作者签名：日期：年月日论文版权使用授权书本人完全了解吉首大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意吉首大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)论文题目：学生签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日目录摘要…………………………………………………………………………………...….....1Abstract…………………………………………………………………………………...........11引言……………………………………………….……………………………….........22求函数极限的方法…………………………....…………………………..........................22.1利用定义求极限.........................................................................................................22.2利用迫敛性求极限.....................................................................................................42.3利用归结原则求极限.................................................................................................42.4利用洛比达法则求极限.............................................................................................52.5利用泰勒公式求极限.................................................................................................72.6用导数的定义求极限.................................................................................................82.7利用定积分求极限.....................................................................................................92.8利用级数收敛的必要性求极限...............................................................................102.9利用Stolz公式求极限...........................................................................................103总结.......................................................................................................................................13参考文献……………………………………………………………………………………...13吉首大学毕业论文1求函数极限的方法欧阳枭（吉首大学数学与统计学院，湖南吉首416000）摘要：函数极限是高等数学的重要组成部分，它是微积分的理论基础，所以求函数极限成为这一部分的重中之重.灵活掌握函数极限的求法是学好高等数学的基础.函数的极限有很多种求法，比如:利用函数极限的定义、利用泰勒公式、利用洛必达法则、利用级数收敛性、利用Stolz公式等.关键词:函数极限;洛必达法则;泰勒公式;级数收敛性;Stolz公式.TheCountingMethodsofFunctionLimitOuyangXiao(CollegeofMathematicsandStatistics,JishouUniversityJishouHunan416000)Abstract:Functionlimitwhichisanimportantpartofadvancedmathematics,isthetheoreticalbasisofcalculus,Therefore,countingthefunctionlimitisatoppriorityforit.Theflexibilitytomasterthecountingmethodsofthefunctionlimitisthefoundationoflearningadvancedmathematicswell.Therearevariouswaystocountingthefunctionlimit,suchasusingthedefinitionoffunctionlimit,theTaylor'sformula,theL'Hopital'srule,theseriesconvergence,theStolzformulaandsoon.Keywords:Thefunctionlimit;theL'Hopital'srule;theTaylor'sformula;theseriesconvergence;theStolzformula吉首大学毕业论文21引言在自然科学、工程技术，甚至某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念，从小学开始我们就已经接触到了函数，函数贯穿了我们整个的学习时段.既然函数在数学学习中处于核心地位，那么我们用什么方法来研究函数呢？这个方法就是极限.在数学分析与微积分学中，极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文将通过一些典型例题来讨论求函数极限的方法.2求函数极限的方法2.1利用定义求极限定义2.1.1(x趋于a时的函数极限)]4[：函数xf在点ax的空心邻域内有定义，A是一个确定的数，若对任意的正数0，存在0，使得当ax－0时，都有()Axf－，则称x趋向于a的极限存在，且为A，记作()Axfax=→lim.下面举例说明如何根据定义来求这种函数极限，我们要特别注意的值是如何确定的，它和有什么关系.例2.1.1证明()4221=+xx→lim证：∀＞0，()12422－－xx=+＜成立，解得1x＜2取,2=于是存在,2:x∀0＜1－x＜,有()422－+x＜故()4221=+xx→lim吉首大学毕业论文3注：一般的取值要依赖于，但它不是由唯一确定的.在上例中还可以把取得更小一些，这取决于函数式放缩的程度.定义2.1.2(x趋向时的函数极限)]4[：设f为定义在[)∞+,a上的函数，A为定值，若对任给正数，存在正数M(≥a）使得当x＞M时有()Axf－＜.则称函数f当x时以A为极限，记作()Axfx=+∞→lim或()()∞→→+xAxf.x趋向于时的函数极限的定义与定义2.1.2相似，只要把定义中的x＞M改为Mx－即可.下面同样举例说明用定义求这种函数极限的方法.例2.1.2证明∞→+nlimnnnn23122++－=31分析这是一个关于自变量n趋向于无穷大的函数极限，n相当于定义中的x，先将函数式适当放大，再根据函数定义求证函数极限.证：2221153323332nnnnnnn－－，当2,530,nn0332322+nnnn－，有222115513239333nnnnnnnnn－－5－≤－，0∀，1,2maxN当Nn时，有2211,323nnnn－故nlimnnnn23122++－=31注1在上式中运用了适当放大的方法，这样求解比较简便.但要注意这种放大必须要“适度”，这样才能根据给定的来确定N，同时要注意此题中的N不一定非要是整数，只要是正数即可.注2函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极限表示的是自变量吉首大学毕业论文4趋向某点时函数值的变化规律.2.2利用迫敛性求极限我们常说的迫敛性或夹逼定理]4[：若,0aUx有,xhxgxf且.limlimbxhxfaxax则bxgaxlim.例2.2.1求极限nnnnnnnnn222...2211lim分析：即nknknnkC12，易知knnk2关于k单调递增.即得nnnnCnnnn2221当时n，上式左、右两端各趋于0和1，似乎无法利用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩.解：对nkknnk12各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变.就得如下不等关系：121122121212nnnnnnkCnnnknnnknnk令时n，上式左、右两端各趋于21，得21...2211lim222nnnnnnnnn2.3利用归结原则求极限归结原则]4[设f在00;'Ux内有定义，0limxxfx存在的充要条件是：对任何含于00;'Ux且以0x为极限的数列nx，极限limnnfx都存在且相等．例2.3.1求极限211lim1nnnn吉首大学毕业论文5分析：利用复合函数求极限，令21211xxxuxx，1xvxx求解．解：令21211xxxuxx，1xvxx则有limxuxe；lim1xvx，由幂指函数求极限公式得211lim1limxvxxxuxexx，故由归结原则得221111lim1lim1nxnxennxx注1归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0xx，0xx，x和x这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．注2若可找到一个以0x为极限的数列nx，使limnnfx不存在，或找到两个都以0x为极限的数列'nx与''nx，使'limnnfx与limnnfx都存在而不相等，则0limxxfx不存在．2.4利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及型不定式极限．用此种方法求极限要求在点0x的空心邻域00Ux内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．例2.4.1求极限21coslimtanxxx解：由于2lim1coslimtan0xxxx，且有1cos'sinxx，22tan'2tansec0xxx，由洛比达法则可得:吉首大学毕业论文621coslimtanxxx2sinlim2tansecxxxx3c