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烤箱的温度控制分析摘要：本文以烤箱的温度为研究对象，对其温度变化进行建模并控制分析。阐述了基本的建模原理，并利用Matlab/Simulink仿真工具，依据状态空间方程理论对该系统进行仿真分析与控制。关键词：Matlab/Simulink仿真；状态空间；反馈控制1、背景介绍温度控制技术广泛的应用于社会生活的各个方面，传统的温度控制技术中最常用的就是继电器调温，但是继电器调温操作频繁，温度的控制范围小，精度也不高。由于烤箱温度控制具有多种特点，例如单方向升温、时间滞后性强、随时间变化等。因此，传统的控制方法不能达到预期的控制效果。根据烤箱工作时实际温度的变化情况，本文对烤箱先进行建模，分析其温度的变化情况，继而采用负反馈控制对其进行温度的调节控制。2、烤箱模型介绍及建模2.1烤箱的结构组成电烤箱一般是由箱体、电热元件、调温器、定时器、功率调节开关等结构组成。电烤箱的热量由热电阻产生，由功率放大器产生的电压𝑉𝑐控制。温度由放在测量洞中的热电偶测量，仪表放大器产生的电压𝑉𝑚，来显示温度𝜃𝑚。现假设，在烤箱的温度范围内，传感器和仪表放大器装置是线性的。烤箱简化模型如图1所示：图1.烤箱结构简图此结构简图中所包括的参数如下：Q=𝑘1×𝑉𝑐产生的热量；𝑅𝑎导热管向机壳传播的热电阻；𝐶𝑎机壳的热熔；𝑅𝑚降低测量动中的烤箱热循环热电阻；𝐶𝑚测量洞中的热熔；𝑅𝑓向烤箱外散热的泄漏电阻；𝐶𝑒烤箱外空气的热熔，假定很大；𝜃𝑎、𝜃𝑚、𝜃𝑒分别表示烤箱机壳、测量洞、烤箱外的温度；2.2烤箱模型的等效电路图烤箱的等效电路图如图2所示：图2.烤箱模型的等效电路图2.3烤箱的热力学系统方程由以上的等效电路图，构建如下热力学系统方程：Q=𝐶𝑎×𝑑𝜃𝑎𝑑t+𝐶𝑚×𝑑𝜃𝑚𝑑t+𝜃𝑎−𝜃𝑒𝑅𝑓𝜃𝑚=𝜃𝑎−𝑅𝑚×𝐶𝑚×𝑑𝜃𝑚dt对上述方程进行拉普拉斯变换，得到根据Q、𝜃𝑒和系统参数的𝜃𝑎的表达式：𝜃𝑎=（Q+𝜃𝑒𝑅𝑓）×𝑅𝑓（1+𝑅𝑚𝐶𝑚s）1+(𝑅𝑚𝐶𝑚+𝑅𝑓𝐶𝑚+𝑅𝑓𝐶𝑎)×s+𝑅𝑓𝑅𝑚𝐶𝑚𝐶𝑎𝑠2由此，得到测量温度和烤箱机壳温度的关系如下：𝜃𝑚𝜃𝑎=11+𝑅𝑚𝐶𝑚𝑠综合这些方程，采用函数方框图来表示这一完整的过程，过程框图如图3所示：图3.完整的过程框图其中：𝑇1(s)=𝑅𝑓（1+𝑅𝑚𝐶𝑚s）1+(𝑅𝑚𝐶𝑚+𝑅𝑓𝐶𝑚+𝑅𝑓𝐶𝑎)s+𝑅𝑚𝐶𝑚𝑅𝑓𝐶𝑎𝑠2𝑇2(s)=11+𝑅𝑚𝐶𝑚𝑠现对烤箱模型的各个参数进行赋值，如下：𝑅𝑎=0.01℃/W；𝑅𝑚=3℃/W；𝑅𝑓=0.1℃/W；𝑄max=1000W；𝐶𝑎=5000J/℃；𝐶𝑚=10J/℃；𝐶𝑒=∞；𝜃𝑒=18℃；𝑘1=100W/V；𝑘2=0.1V/℃；代入上述传递函数𝑇1(s)、𝑇2(s)中，经计算得：𝑇1(s)=0.1+3s15000𝑠2+531s+1𝑇2(s)=11+30s2.4烤箱系统的Simulink仿真在Simulink中进行系统的模型模拟，如图4所示：图4.烤箱系统模拟模型经过Simulink仿真得到测量电压𝑉𝑚和控制电压𝑉𝑐的变化曲线，如图5所示：图5.测量电压𝑉𝑚和控制电压𝑉𝑐变化曲线图由上图可知，当过一段时间后，测量电压𝑉𝑚逐渐趋于恒定值，但是与控制电压𝑉𝑐总有一段稳态误差，无法达到理想的温度状态，因此，需要对烤箱温度系统进行负反馈控制进行调节。烤箱的温度变化曲线，如图6所示：图6.烤箱温度变化曲线图由图6分析可知，在1000W功率的烤箱中，瞬间测量温度𝜃𝑚很接近烤箱温度𝜃𝑎，当时间充分，稳定状态下，两者几乎是相等的。3、烤箱的PID控制调节3.1PID介绍所谓PID控制规律，就是一种对偏差ε（t）进行比例、积分和微分变换的控制规律。即：m(t)=𝐾𝑝[𝜀(t)+1𝑇𝑖∫𝜀(τ)dτ+𝑇𝑑𝑑ε（t）dt𝑡0]其中，𝐾𝑝𝜀(t)是比例控制项；𝐾𝑝是比例系数；1𝑇𝑖∫𝜀(τ)dτ𝑡0为积分控制项；𝑇𝑖是积分时间常数；𝑇𝑑𝑑ε（t）dt为微分控制项；𝑇𝑑是微分时间常数。比例控制项与微分、积分控制项的不同组合可分别构成PD（比例微分）、PI（比例积分）、PID（比例积分微分）等三种调节器。PID调节器通常用作串联校正环节。PID调节器的控制作用有以下几点：1、比例系数𝐾𝑝直接决定控制作用的强弱，加大可使系统的稳态误差减小，提高系统的动态响应速度，但过大会使控制量振荡甚至导致闭环系统不稳定；2、在比例调节的基础上加上积分控制可以消除系统的稳态误差，但是这将使系统的动态过程变慢，而且过强的积分环节会使系统的超调量增大，稳定性变坏；3、微分控制作用是减少超调，克服振荡，使系统趋于稳定，加快系统的响应速度，减少调整时间，改善系统的动态性能。不足之处是放大噪声信号。3.2烤箱的PID控制在Simulink中进行建模，如图7所示：图7.烤箱的PID控制模型运行结果如图8所示：图8.PID控制𝑉𝑐与𝑉𝑚关系图由图8可以得知，测量电压𝑉𝑐与控制电压𝑉𝑚在稳定状态下是相等的，但是不足之处是超调量略显高，还有待进一步的改善。4、烤箱模型的离散状态控制烤箱的离散状态控制模型是建立在反馈控制系统之上的，而反馈控制系统是基于反馈原理建立的自动控制系统。所谓为反馈原理，即是根据系统输出变化的信息来进行控制，通过比较系统输出的行为与期望的输出行为之间的偏差，并消除偏差以此获得期望的系统性能。在反馈控制系统之中，存在由输入到输出的信号前向通道，和从输出端到输入端的信号反馈通道，二者组成了闭环回路。4.1烤箱的离散状态表示将烤箱函数的过程框图进行修改，以此来得到传递函数T(s)=𝑉𝑚（s）𝑉𝑎（s）的状态表达式，其中𝑉𝑚（s）表示测量的烤箱温度，𝑉𝑎（s）反映烤箱机壳的温度。如图9所示：图9.修改后的烤箱函数框图其中，传递函数T（s）：T(s)=𝑘1𝑘2𝑅𝑓1+(𝑅𝑚𝐶𝑚+𝑅𝑓𝐶𝑚+𝑅𝑓𝐶𝑎)s+𝑅𝑚𝐶𝑚𝑅𝑓𝐶𝑎𝑠2由传递函数可知，T（s）是二阶函数，所以状态表达式需要2个状态变量，令：{𝑥1(t)=𝑉𝑚（t）𝑥2(t)=𝑥1̇（t）不妨取常数𝑏0、𝑎1、𝑎0，则可将表达式修改为：T(s)=𝑏0𝑠2+𝑎1𝑠+𝑎0因此，得到对应于传递函数T(s)的空间状态表达式（矢量形式）：（𝑥1̇𝑥2̇）=[01−𝑎0−𝑎1]（𝑥1𝑥2）+（0𝑏0）𝑉𝑐y=𝑉𝑚=（10）（𝑥1𝑥2）4.2离散系统状态空间现在考虑传递过程中的时间常数，其被采样周期1s离散化，通过测量𝑉𝑚来控制烤箱温度，因此，设置：固有频率𝜔𝑛=0.005rad/s；阻尼系数δ=0.707。则通过以下程序，来求出离散系统的状态空间表达式。Rm=3;Rf=0.1;Ca=5000;Cm=10;k2=0.1;k1=100;Te=1;a0=1/(Rf*Rm*Cm*Ca);a1=1/(Rm*Cm);b0=k1*k2*Rf/(Rf*Rm*Cm*Ca);A=[01;-a0-a1];B=[0;b0];C=[10];D=0;sys=ss(A,B,C,D);sysd=c2d(sys,Te,‘zoh’);[Ad,Bd,Cd,Dd,Ts,Td]=ssdata(sysd)运行结果，如下图所示：状态反馈量K通过以下程序求出：m=sqrt(2)/2;wn=1/200;p1=-2*exp(-m*wn*Te)*cos(wn*Te*sqrt(1-m^2));p2=exp(-2*m*wn*Te);p=[1p1p2];pr=roots(p);K=acker(Ad,Bd,pr)运行结果，如下图所示：具有状态反馈的离散空间，在Simulink中仿真后，如图10所示：图10.烤箱离散状态控制图运行结果如图11所示：图11.烤箱离散状态𝑉𝑐与𝑉𝑚关系图由图10可看出，适当增大前向通道的增益来减小两者位置的差异，但是也势必会带来超调和振荡，因此在前向通道中加入的增益不宜过大。在图11中，可以看出虽然产生一定的振荡，但是位置差已经被大大的减小，而且超调量也大幅度的降低了，控制的效果也基本令人满意。5、总结对于控制系统，采用添加前向负反馈增益的方法可以改善系统的特性，但是也会带来超调和振荡等不良影响，例如PID控制调节，比例环节、积分环节和微分环节的系数共同作用于系统的动态性能，因此，要综合考虑系统的特性，选取最佳的控制方法和设置最优的参数。6、参考文献[1]于浩洋，初红霞，王希凤等，MATLAB实用教程—控制系统仿真与应用，北京：化学工业出版社，2009.6.[2]杨叔子，杨克冲等，机械工程控制基础，武汉：华中科技大学出版社，2011.5.[3]俞立，现代控制理论，北京：清华大学出版社，2007.4.