2016高考数学理科二轮复习课件：专题2第一讲 三角函数的图象与性质

随堂讲义专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质1．高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已知图象求解析式或求解析式中的参数的值，常以选择题或填空题的形式考查．2．高考对三角函数性质的考查是重点，以解答题为主，考查y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、单调性、对称性以及最值等，常与平面向量、三角形结合进行综合考查，试题难度属中低档．例1若sinθ＝－45，tanθ＞0，则cosθ＝________．解析：由已知sinθ＝－45，tanθ＞0，知θ在第三象限，∴cosθ＝－1－sin2θ＝－1－－452＝－35.答案：－35(1)三角函数线是研究三角函数性质的主要依据，在函数值大小比较时经常运用．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式及公式的应用条件．1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝(B)A．－45B．－35C.35D.45解析：∵角θ的终边在直线y＝2x上，∴tanθ＝2.则cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35.例2设向量a＝sin2π＋2x4，cosx＋sinx，b＝(4sinx，cosx－sinx)，f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知常数ω0，若y＝f(ωx)在区间－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围；(3)设集合A＝xπ6≤x≤23π，B＝{x||f(x)－m|2}，若A⊆B，求实数m的取值范围．思路点拨：利用向量的坐标运算，化简求出f(x)的解析式；结合图象求出ω的取值范围；利用集合的知识和A⊆B来解．解析：(1)f(x)＝sin2π＋2x4·4sinx＋(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＝4sinx·1－cosπ2＋x2＋cos2x＝2sinx(1＋sinx)＋1－2sin2x＝2sinx＋1，∴所求解析式为f(x)＝2sinx＋1.(2)∵f(ωx)＝2sinωx＋1，ω0，由2kπ－π2≤ωx≤2kπ＋π2，得f(ωx)的增区间是2kπω－π2ω，2kπω＋π2ω，k∈Z.∵f(ωx)在－π2，2π3上是增函数，∴－π2，2π3⊆－π2ω，π2ω.∴－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω.∴ω∈0，34.(3)由|f(x)－m|2，得－2f(x)－m2，即f(x)－2mf(x)＋2.∵A⊆B，∴当π6≤x≤23π时，不等式f(x)－2mf(x)＋2恒成立．∴f(x)max－2mf(x)min＋2，∵f(x)max＝fπ2＝3，f(x)min＝fπ6＝2，∴m∈(1，4)．根据三角函数的图象特征转化为求函数的周期、最值、单调区间问题，并且用代数式表示．2．已知ω0，0＜φ＜π，直线x＝π4和x＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝(A)A.π4B.π3C.π2D.3π4例3下图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的一部分，求其解析式．思路点拨：本题根据图象的特征求解函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式．解析：由图象，知最大值为3.则A＝3.12T＝12π，故ω＝2.所求解析式为y＝3sin(2x＋φ)．∵点Mπ3，0在图象上，∴φ＝－2π3＋2kπ(k∈Z)．取φ＝－2π3，∴所求解析式为y＝3sin2x－2π3.(1)已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法，由图中的最大、最小值求出A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ的值．(2)将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝0＋2kπ，其他依次类推即可．3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如右图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到的图象解析式为(D)A．y＝sin2xB．y＝cos2xC．y＝sin2x＋2π3D．y＝sin2x－π6解析：由图象知A＝1，34T＝11π12－π6＝3π4，T＝π⇒ω＝2，由sin2×π6＋φ＝1，|φ|＜π2得π3＋φ＝π2⇒φ＝π6⇒f(x)＝sin2x＋π6，则图象向右平移π6个单位长度后得到的图象解析式为y＝sin2x－π6＋π6＝sin2x－π6.故选D.1．正确理解三角函数的定义，能利用三角函数的定义确定三角函数的定义域及三角函数值在各个象限的符号．2．已知角终边上一点的坐标，可利用三角函数的定义求三角函数值．如果点的坐标中含有字母，要注意分类讨论．3．有关三角函数的定义域、值域、单调区间、最值等问题，通常把已知解析式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B等形式，或者配方转化成关于sinx或cosx的二次函数，再根据函数的图象和性质求解．对于前者，要突出角(ωx＋φ)的整体性．