28.2.2解直角三角形应用举例(3)

【热身训练】如图，在上海黄埔江东岸，矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄埔江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°，后退400m到A点测得塔尖D的仰角为30°，设塔底C与A、B在同一直线上，试求该塔的高度．ACBD30°45°解:设塔高CD=xm在Rt△BCD中，∵∠DNC=45°∴BC=x∴CA=400+x在Rt△ACD中，∵∠DAC=30°∴AC=xtan60°=400+x340200(31)31x∴塔高CD为m．200(31)方向角如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南【例1】如图，海岛A四周45海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行18海里到C，见岛A在北偏西45˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？ABDCPP145˚60˚答：货轮有触礁危险．∵∠PBA=60˚，∠P1CA=30˚，∴∠ABC=30˚，∠ACD=30˚，在Rt△ADC中，CD=AD•cot∠ACD=x•cot60˚，在Rt△ADB中，BD=AD•cot45˚=x•cot45˚，∵BD－CD＝BC，BC＝18∴x•cot45˚-x•cot60˚=18∴x＝≈9×(3＋1.732)=42.58845解：过点A作AD⊥BC于D，设AD=x189334560()cotcot（1）如图，一艘渔船正以40海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看某小岛C在船的北偏东60°，半个小时后，渔船行止B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．已知以小岛C为中心，周围15海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能?小练习解：设BD=x海里由题意得AB=20，∴AD=20+x在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD=ADtan30°=BDtan60°∴x=10所以这艘渔船继续向东追赶鱼群，不会进入危险区．32033(x)x10601031732CDtan.15（2）正午8点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于20海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？（精确到1分）．10时44分小练习60°AOBC（3）如图，海岛A的周围15海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行16海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？有触礁的危险小练习【例2】燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B是45°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口宽BC（精确到1mm）．解：等腰梯形中，AD=180mm，AE=70mm，∠B=45°AE⊥BCAEtanBBE2270180320BCBEEFFCBEAD707045AEBEtanBtan∵∴又∵BE=EC∴答：它的里口宽BC长为320mm．遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．（1）如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD（精确到0.01米）．AC约为5.77米AD约为2.89米小练习（2）如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，DE⊥AB于E，AB=10，DE=6，cosA=，求CD的长．35CD的长为1小练习坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度、坡角htan()hi坡角【例3】（1）如图，温州某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为30cm，深为30cm．为方便残废人士，现拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度．（sin12°≈0.2079）解：在Rt△BDC中，∠C=12°∴AC=282－60=222（cm）由题意得，BD=60tanBDCCD60tantan12BDCDC602820.2126强化训练：（2）如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）．上述问题可以归结为：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．5.56.0()cos0.9135ACABA米解：在Rt△ABC中，ACcosAAB∴答：斜坡上相邻两树的坡面距离是6米．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1:2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）．坝底AD的宽为132.5m，斜坡AB的长为72.7m．小练习（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：归纳（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：