28.2.2解直角三角形应用举例

探究1：解直角三角形在圆中的应用2003年10月15日“神舟”5号载入航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果保留整数）？探究2：仰角、俯角在解直角三角形中的应用仰角：在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的是仰角,如图,α为仰角；俯角：视线在水平线下方的是俯角,如图,β为俯角.探究2：仰角、俯角在解直角三角形中的应用热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高(结果保留小数点后一位)?C355例1：(2014,珠海)如图,一艘渔船位于小岛Ｍ的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处,渔船从A处沿正南方向航行一段距离后,到达位于小岛南偏东60°方向的B处.(2)在Rt△DMB中,根据∠BMF＝60°,得出∠DMB＝30°,再根据MD的值求出MB的值,最后根据路程÷速度＝时间,即可得出答案.解析：点评：(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶,求渔船从B到达小岛M的航行时间(结果精确到0.1小时).(参考数据：2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键.D例2：水务部门为加强防汛工作,决定对程家山水库进行加固.原大坝的横断面是梯形ABCD,如图所示,已知迎水面AB的长为10米,∠B＝60°,背水面DC的长度为103米,加固后大坝的横断面为梯形ABED,若CE的长为5米.(1)分别过A、D作AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为F、G,在Rt△ABF中求解；解析：解：(1)已知需加固的大坝长为100米,求需要填土多少立方米？(1)分别过A、D作AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为F、G,在Rt△ABF中,AB＝10,∠B＝60°,所以sinB＝,ABAF,35,352310DGAF32253552121＝所以DGCESDCE.312503225100（立方米）＝所以需要填土A35050解：过A作AD⊥BC于D,则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离.在Rt△ACD中,∠ACD＝45°,设AD＝x,则CD＝AD＝x,在Rt△ABD中,∠ABD＝60°,，所以即由xxBDBDxBDADABD3360tan,60tan,tan∴又BC＝4,即BD＋CD＝4,答:这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为公里.7.(2014,资阳)如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4公里到达C处,再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一平面上).求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离..325433xxx，解得所以)326(A35°例1：如图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏,铁环是圆形的,铁环向前滚动时,铁环钩保持与铁环相切,将这个游戏抽象为数学问题,如图②.已知铁环的半径为5个单位(每个单位为5cm),设铁环中心为O,铁环钩与铁环的相切点为M,铁环与地面的接触点为A,∠MOA＝α,且sinα＝(1)过M作与AC平行的直线,构造直角三角形,利用三角函数求OH,进而求MB.解析：解：53(1)求点M离地面AC的高度BM(单位：cm)；HN如图,过M作与AC平行的直线,与OA、FC分别相交于H、N.(1)在Rt△OHM中,∠OHM＝90°,OM＝5个单位,∴HM＝OM·sinα＝3个单位,∴OH=4个单位,MB=HA=5－4=1(个单位),1×5=5(cm),∴所以点M离地面的高度BM为5cm；例1：如图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏,铁环是圆形的,铁环向前滚动时,铁环钩保持与铁环相切,将这个游戏抽象为数学问题,如图②.已知铁环的半径为5个单位(每个单位为5cm),设铁环中心为O,铁环钩与铁环的相切点为M,铁环与地面的接触点为A,∠MOA＝α,且sinα＝(2)要求MF的长度,需构造Rt△FMN.解析：解：(2)设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位,求铁环钩MF的长度(单位：cm).HN(2)∵∠MOH+∠OMH＝∠OMH+∠FMN＝90°,∴∠FMN=∠MOH=α,∴=sinα=,即得FN=.∴在Rt△FMN中,∠FNM＝90°,MN=BC=AC-AB=11-3=8(个单位).∴由勾股定理得FM2＝FN2+MN2,即FM2＝(FM)2+82,FMFN53535310×5＝50(cm),所以铁环钩FM的长度为50cm.例2：某数学兴趣小组在学习了锐角三角函数以后,开展测量物体高度的实践活动,他们在河边的一点A测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为66°,塔底B的仰角为60°.已知塔的高度BC为20m(如图),你能根据以上数据求出小山的高BD吗？若不能,请说明理由;若能,请求出小山的高BD.(精确到0.1m)解析：解：能求出小山的高.设小山的高BD为xm,在Rt△ABD中,应先明确铁塔垂直于地面及仰角的概念,理解图形；由三角函数定义,根据AD在不同的直角三角形中所得的关系式列方程,即可求解.在Rt△ABD中,,60tantanBADADBD.60tanxAD,66tan2066tanxCDADACDRt＝中，同理，在)(4.67366tan32060tan66tan60tan20,66tan2060tanmxxx11811.9解：过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F.∵AB∥CD,∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°,∴四边形ABFE为矩形,∴AB=EF,AE=BF=1公里.在Rt△AEC中,∠C=45°,AE=1公里,∴CE=AE=1公里.在Rt△BFD中,∠BDF＝37°,BF＝1公里,∴DF＝≈1.33公里,BDFBFtan∴AB=EF=CD+DF-CE≈3.2+1.33-1=3.53≈3.5(公里).答：钓鱼岛两端AB的距离约为3.5公里.