二次型及其标准形-线性代数

求正交矩阵，把实对称矩阵化为对角阵的方法：TA1.解特征方程0,AE求出对称阵的全部不同的特征值。A即求齐次线性方程组()0iAEX的基础解系。3.将属于每个的特征向量先正交化，再单位化。i2.对每个特征值，求出对应的特征向量，i这样共可得到个两两正交的单位特征向量n12,,,n4.以为列向量构成正交矩阵12,,,n12(,,,)nT有1TAT即111rrTAT必须注意：对角阵中的顺序12,,,n12,,,n要与特征向量的排列顺序一致。例2设T求正交矩阵，1TAT使得为对角阵。220212,020A解20212022EA21401234,1,2.当时，由1440,AEx2204232024AE102012000122.1p即132322xxxx得基础解系当时，由210,AEx120202021AE120021000221.2p即123222xxxx得基础解系当时，由2220,AEx4202232022AE201210000312.2p即312122xxxx得基础解系?,,321如何处理ppp只需把单位化，得1p12323,13（考虑为什么？）1232211,,212,3122T得正交矩阵1400010.002TAT有只需把单位化，得2p,3231322只需把单位化，得3p.3232313解秩设的特征向量为则例3设3阶实对称矩阵A的特征值为123,,，已知，相对应的特征向量分别为122,312(1,1,0),(1,1,1),()2TTXXrA,3求的值及矩阵A.得基础解系思考求A，C还有没有别的取法？把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵例4：已知方阵的特征值是A1230,1,3,相应的特征向量是1231111,0,2,111求矩阵.A解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵是3阶方阵。A因为有3个不同的特征值，所以可以对角化。AA即存在可逆矩阵,使得P1PAP其中111102,111P01,3求得1111333110,22111636P1APP111333111011102102211131116361101210112.求方阵的幂例5：设求45,23A100.A解：4523AE(2)(1)0121,2.A可以对角化。齐次线性方程组为当时，110AEx11005522AE系数矩阵12xx令得基础解系:21x111p齐次线性方程组为当时，2220AEx250025225AE系数矩阵1252xx令得基础解系:21x252p令12(,)Ppp1512求得1251311P即存在可逆矩阵,使得P112PAP1APP1001001APP100151025131202111001001525(1)013121102100100101101252552132252a是矩阵A的一个特征值，且向量(1,1,…,1)T⑴是A的λ＝a的对应的特征向量；123AA⑵当A可逆，且a≠0时，A－1的各行元素之和为多少？思考题：设n阶方阵A的各行元素之和为a，试证:矩阵的各行元素之和为多少?第六章二次型及其标准型§6.3正定二次型与正定矩阵§6.2化二次型为标准型§6.1二次型及其矩阵表示§5.5二次型其次标准形引言判别下面方程的几何图形是什么？)1(103222yxyx6,~)cos(~)sin(~)sin(~)cos(yxyyxx作旋转变换代入(1)左边，化为：120~4~10~21~252222yxyx见下图xyx~y~称为n维(或n元)的二次型.定义nxxx,,,21含有n个变量的二次齐次函数)(ijjiaanjijiijnxxaxxxf1,21,,,关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！例如：22(,)45fxyxxyy22(,,)2fxyzxyxzyz1234122324(,,,)fxxxxxxxxxx都是二次型。22(,)5fxyxy22(,)22fxyxyx不是二次型。只含有平方项的二次型2222211nnykykykf称为二次型的标准形。23222132144,,xxxxxxf为二次型的标准形。2211111222121122211222212nnnnnnnnnnnfaaxaxaxaxxaxxxxxaaaxxxxxijjiaa取2ijijijijjiijaxxaxxaxx则则二次型可以表示为11112211()nnaxaxxxa21122222()nnaxaxxxa1122()nnnnnnaxaxxax,1nijijijaxx二次型用和号表示11112212112222121122(,,,)nnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxxxxaxaxax1111212122221212(,,,)nnnnnnnnxaaaaaaxxxxaaax12nxxXx111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa令TfXAX则其中为对称矩阵。A二次型的矩阵表示（重点）注1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。2、其对角线上的元素iia恰好是nixi,,2,12的系数。3、jixx的系数的一半分给.jia可保证.jiijaa1123231-20(,,)-201/201/2-3xxxxxx22123131223(,,)34fxxxxxxxxx例如：二次型注：二次型对称矩阵把对称矩阵称为二次型的矩阵Af也把二次型称为对称矩阵的二次型fA对称矩阵的秩称为二次型的秩AfTfXAX二次型定义2：例1写出下面二次型f的矩阵表示，并求f的秩r(f)。解3231213322211410695xxxxxxxxxfAxxxxxxxxT321321975753531],,[BxxxxxxxxxxxfT321321321987654321],,[),,(2)r()r(Af问：在二次型中,如不限制A对称,A唯一吗?AxxfT定义只含平方项的二次型2222211nnxkxkxkfnnnxxkkxx111],,[称为二次型的标准形(或法式)。平方项系数只在中取值的标准形0,1,1221221rppxxxxf(注：这里规范形要求系数为1的项排在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。)称为二次型的规范形。目的：)1(,,,1,21njijiijnxxaxxxf对给定的二次型找可逆的线性变换(坐标变换)：nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111))((可逆其中ijcC代入(1)式，使之成为标准形2222211nnykykykf称上面过程为化二次型为标准形。第六章二次型及其标准型§6.3正定二次型与正定矩阵§6.2化二次型为标准型§6.1二次型及其矩阵表示简记设若一、非退化线性变换（可逆线性变换）为可逆线性变换。当C是可逆矩阵时,称对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。,1nTijijijfXAXaxx即二次型经过可逆线性变换CYX2221122nnfkykyky使得为什么研究可逆的变换？即经过可逆线性变换CYX可化为AXXfTYACCYTT)()()(CYACYTACCBT令),,,(,21nkkkdiagB矩阵的合同：.,,,BAACCBCBAnT合同于则称使得若存在可逆矩阵、阶方阵两个证明TTTACCB)()1((2)TBCACC因为可逆)()(ArBr所以)()()2()1(ArBrACCBT仍是对称矩阵定理设A为对称矩阵，且A与B合同，则TTTTCAC)(BACCT注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：(1)反身性(2)对称性(3)传递性记作AB回忆相似关系：比较合同和相似关系)tr()tr(BA(1)相似关系是一种等价关系;(2)A与B相似,则r(A)=r(B);(3)A与B相似,则;从而A与B有相同的特征值;(4)A与B相似,则;(5)A与B相似,则;(6)A与B相似,则与相似;其中(7)A与B相似,且A可逆,则与相似。BEAEBA)(A)(B1A1Bmmtataat10)(二.化二次型为标准形1.正交变换法（重点）2.配方法目标：AXXfT二次型CYX可逆线性变换YACCYfTT)(标准形2222211nnykykykYYT问题转化为：为对角矩阵，使得求可逆矩阵ACCCT回忆：,,TA总存在正交矩阵对于任意实对称矩阵ATT1使得，，为正交矩阵，即又ETTTTTTT1所以,,TA总存在正交矩阵对于任意实对称矩阵ATTT使得，此结论用于二次型所以，主轴定理(P191定理6.2.1)总有任给二次型,1,jiijnjijiijaaxxaf,2222211nnyyyf.)(,,,21的特征值的矩阵是其中ijnaAf化为标准形使正交变换fPyx,1.正交变换法对二次型存在正交变换，使其中为的特征值。其中P的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交的单位特征向量。定理：用正交变换化二次型为标准形的步骤;)(.1一定是对称的的矩阵求二次型Af;),,,diag(.221其方法同上一节使求正交矩阵nTAPPP.,.32211nnyyffyPx的标准形为则得作正交变换例1用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。解（1）写出二次型f的矩阵(2)求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量而它们所对应的标准正交的特征向量为