1-2内积外积混合积

1第一章几何空间中的向量第二节向量的积向量的数量积向量积混合积2一、向量的数量积一物体在常力F作用下沿直线从点1M移动到点2M，以s表示位移，则力F所作的功为cos||||sFW(其中为F与s的夹角)启示实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.SF3向量a与b的数量积为bacos||||baba(其中为a与b的夹角)定义abcos||||baba取值范围呢？4Prcosj定义：向量β在非零向量的投影其中θ为α,β之间的夹角提示：1、投影是一个向量还是标量？2、图形上怎样描绘投影（我们称为向量分解）bkaaaba5数量积也称为“点积”、“内积”.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.因此，内积也可以表示为||Pr.||Prababajbbja6投影性质（1）2121PrPr)(Prjjj1221（2）Prj7内积的性质：0)2(ba.ba)(,0ba,0||a,0||b,0cos.ba.||)1(2aaa)(,ba,0cos.0cos||||baba,0.||cos||||2aaaaa证证,2,28内积运算规律：（1）交换律：;abba（2）分配律：;)(cbcacba（3）若为数：),()()(bababa若、为数：).()()(baba91．若a=θ，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠θ，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠θ，a·b=0，则b=θ4．若a·b=0，则a,b中至少有一个为θ．5．若a≠θ，a·b=b·c，则a=c√××××例：概念判断题：10数量积注意点：（1）有没有所谓的消去率？;abacbc成立吗?（2）有没有所谓的结合率？()()abcabc有这样的式子吗？11例证明向量c与向量acbbca)()(垂直.证cacbbca])()[(])()[(cacbcbca])[(cacabc0cacbbca])()[(几何关系代数表达12).,cos(,3,32,3),(1,2,BABA求设例13设O为一根杠杆L的支点，有一力F作用于这杠杆上P点处．力F与OP的夹角为，力F对支点O的力矩是一向量M，它的模||||||FOQMsin||||FOPM的方向垂直于OP与F所决定的平面,指向符合右手系.实例二、两向量的向量积LFPQO14向量a与b的向量积为bacsin||||||bac(其中为a与b的夹角)定义向量积也称为“叉积”、“外积”.c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合右手系.“右手法则”^),(15向量积的性质：(1).0aa)0sin0()(,0ba,0||a,0||b,0sin0,)(0sin.0sin||||||baba证ba//ba//或0ba)2(//.0ba)0,0(ba问题：1、平行我们以前怎么判断？2、平行两个向量坐标间有什么关系？16向量积运算规律：（1）.abba（2）分配律：.)(cbcacba（3）若为数：).()()(bababa3,11,30,设求例反交换17几何意义及应用||ba表示以a和b为邻边的平行四边形的面积.abbac18定义设已知三个向量a、b、c，数量cba)(称为这三个向量的混合积，记为(,,)abc.三、向量的混合积提示：1、混合积的计算结果是标量还是向量2、顺序能不能改成先内积再外积？19（1）向量混合积的几何意义：向量的混合积(,,)()abcabc是这样的一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积.acbba关于混合积的说明：20(2)(,,)abc()abcacb)(.)(bac（3）三向量a、b、c共面(,,)0.abcacbcba.bac“右手法则”21已知(,,)2abc，计算)()]()[(accbba.解)()]()[(accbba)()][accbbbcabaccbcccacba)(0)()(acbaacaaba)(0)()(0000cba)(cba)(2][2cba.4例