线面垂直的判定及其性质(带答案)

线面垂直的判定及其性质第1题.已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系是．答案：b//或b．第2题.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（）A．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．０答案：Ｂ．第3题.已知平面，，且，//，求证．答案：证明：设l，在平面内作直线al．因为，所以a．过a作一个平面与平面相交于直线b，由//，得ab//．又b，所以．因为a，所以b．第4题.已知平面，，满足，，l，求证：l．答案：在平面内做两条相交直线分别垂直于平面，与平面的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线l平面．第5题.如图，已知平面，，直线a满足，a，a，试判断直线a与平面的位置关系．答案：解：在内作垂直于与交线的直线b，因为，所以b．因为a，所以ab//．又因为a，所以a//．即直线a与平面平行．第6题.如图所示，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AESBAGSD，．baSABCFEDG答案：证明：∵SA平面ABCD，SABC∴．又ABBC，∴BCSAB平面．AESAB平面∵，BCAE∴，SCAEFG平面∵，SCAEAESBC平面，∴，AESB∴．同理AGSD．第7题.已知直线l平面，有以下几个判断：①若ml，则m//；②若m，则ml//；③若m//，则ml；④若ml//，则m．上述判断中正确的是（）Ａ．①②③Ｂ．②③④Ｃ．①③④Ｄ．①②④答案：Ｂ．第8题.，是两个不同的平面，mn，是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn①；②；n③；m④．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题．答案：或②③④①①③④②．第9题.如图所示，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EFCD//，AMEF．求证：MF是异面直线AB与PC的公垂线．答案：证明：PA∵底面，PAAB∴．已知ABAD，AB∴面PAD．BAAE∴．又AMCDEF////，且AMEF．AEFM∴是矩形，AMMF∴．又AEPD∵，AECD，AE∴平面PCD．又MFAE//，MF∴平面PCD．MFPC∴．∴MF是异面直线AB与PC的公垂线．BAPEFCDM第10题.设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有PAPC，PBPD，则PO与平面ABCD的关系是．答案：垂直第11题.如图，直角ABC△所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点．（１）求证：SD平面ABC；（２）若ABBC，求证：BD面SAC．答案：证明：（１）SASC∵，D为AC的中点，SDAC∴．连结BD．在ABCRt△中，则ADDCBD．ADSBDS∴△≌△，SDBD∴．又ACBDD，SD∴面ABC．（２）BABC∵，D为AC的中点，BDAC∴．又由（１）知SD面ABC，SDBD∴．于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．∴BD面SAC．第12题.在三棱锥PABC中，侧面PAC与面ABC垂直，3PAPBPC．（１）求证：ABBC；（２）设23ABBC，求AC与平面PBC所成角的大小．答案：证明：如图（１）所示，取AC中点D，连结BD，PD．PAPC∵，PDAC∴．又平面PAC平面ABC，PD∴面ABC．ASCBDPAPBPC∵，DADBDC∴．可知AC为ABC△的外接圆直径．∴ABBC．（２）解：如图（２），作CFPB于F，连结AF，DF．PBCPBA∵△≌△，AFPB∴，AFCF．PB∴平面AFC．∴面AFC面PBC，交线为CF．∴直线AC在平面PBC内的射影为直线CF．∴ACF为AC与平面PBC所成的角．在ABCRt△中，23ABBC，6BD∴．在PDCRt△中，6DC，3PD．在PDBRt△中，3623PDDBDFPB．在FDCRt△中，23tan36DFDCFDC．30ACF∴þ．即AC与平面PBC所成角为30þ．APDCB图（１）APDCBF图（２）第13题.在正方形ABCD中，E，F分别是AB及BC的中点，M是EF的中点，沿DE，DF及EF把DAE△，DFC△，EBF△折起使A，B，C三点重合，重合后的点记作P，那么在四面体PDEF中必有（）Ａ．DP面PEFＢ．DM面PEFＣ．PM面DEFＤ．PF面DEF答案：Ａ．第14题.直线a不垂直于平面，则内与a垂直的直线有（）Ａ．0条Ｂ．1条Ｃ．无数条Ｄ．内所有直线答案：Ｃ．第15题.已知三条直线m，n，l，三个平面，，．下面四个命题中，正确的是（）Ａ．//Ｂ．mllm//Ｃ．mmnn//////Ｄ．mmnn//答案：Ｄ．第16题.在空间四边形ABCD中，若ABBC，ADCD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（）Ａ．平面ABD平面BDCＢ．平面ABC平面ABDＣ．平面ABC平面ADCＤ．平面ABC平面BED答案：Ｄ．第17题.，，，是四个不同平面，若，，，，则（）Ａ．//且//Ｂ．//或//Ｃ．这四个平面中可能任意两个都不平行Ｄ．这四个平面中至多有一对平面平行答案：Ｂ．第18题.设a，b是异面直线，下列命题正确的是（）Ａ．过不在a，b上的一点P一定可以作一条直线和a，b都相交Ｂ．过不在a，b上的一点P一定可以作一个平面和a，b垂直Ｃ．过a一定可以作一个平面与b垂直Ｄ．过a一定可以作一个平面与b平行答案：Ｄ．第19题.已知a，b是异面直线，a，b，c，AB是a，b的公垂线，求证：ABc//．答案：证明：过A作b'，则bb'//．ABb∵，ABb∴'．又ABa∵，abA'，设a，b'确定平面，AB∴．又a，c，ac∴．同理bc'．c∴．ABc∴//．acABb'b第20题.下面四个命题：①若直线a//平面，则内任何直线都与a平行；②若直线a平面，则内任何直线都与a垂直；③若平面//平面，则内任何直线都与平行；④若平面平面，则内任何直线都与垂直．其中正确的两个命题是（）Ａ．①与②Ｂ．②与③Ｃ．③与④Ｄ．②与④答案：Ｂ．第21题.设平面平面，且l，直线a，直线b，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b（）Ａ．可能垂直，不可能平行Ｂ．可能平行，不可能垂直Ｃ．可能垂直，也可能平行Ｄ．不可能垂直，也不能垂直答案：Ｂ．第22题.已知：如图所示，平面平面，l，在l上取线段4AB，AC，BD分别在平面和平面内，且ACAB，DBAB，3AC，12BD，求CD长．答案：解：连结BC．ACAB∵，AC∴，ACBD．ACBDlBDAB∵，BD∴，BDBC．CBD∴△是直角三角形．在BACRt△中，22BCACAB22345，在CBDRt△中，2251213CD．CD∴长为13．第23题.在正三棱柱111ABCABC中，若11ABBC．求证：11ABAC．答案：证明：取AB中点D，11AB中点1D，连结1AD，1BD，CD，11CD，由正三棱柱性质知，CDAB，1111CDAB．又正三棱柱侧面与底面垂直，CD∴面11ABBA，11CD面11ABBA，1AD∴，1BD分别为1AC与1BC在面1ABBA上的射影．11ABBC∵，11ABBD∴．又11AD∥BD，11ADBD∴//．11ADAB∴．∴11ABAC．ACBDl第24题.设三棱锥PABC的顶点P在底面ABC内射影O（在ABC△内部，即过P作PO底面ABC，交于O），且到三个侧面的距离相等，则O是ABC△的（）Ａ．外心Ｂ．垂心Ｃ．内心Ｄ．重心答案：Ｃ．第25题.如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则PAB△，PAC△，ABC△，PBC△中，直角三角形的个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4答案：Ｄ．第26题.已知直线a，b和平面，有以下四个命题：1C1AA1D1BCBDOPABC①若a//，ab//，则b//；②若a，bA，则a与b异面；③若ab//，b，则a；④若ab，a，则b//．其中真命题的个数是（）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3答案：Ｂ．