2017届上海市普陀区高三二模数学卷(含答案)

徐汇区高三数学本卷共4页第1页2017届第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2017．4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.设全集1,2,3,4U，集合2|540,AxxxxZ，则UCA=____________．2.参数方程为22xtyt（t为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3.已知复数z满足1z，则2z的取值范围是____________．4.设数列na的前n项和为nS，若*21()3nnSanN，则limnnS=____________．5.若*1()(4,)2nxnnNx的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n_____．6.把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7.若行列式124cossin022sincos822xxxx中元素4的代数余子式的值为12，则实数x的取值集合为____________．8.满足约束条件22xy的目标函数zyx的最小值是____________．9.已知函数2log02()25()239xxxfxx，，．若函数()()gxfxk有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10.某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．徐汇区高三数学本卷共4页第2页11.如图：在ABC中，M为BC上不同于,BC的任意一点，点N满足2ANNM．若ANxAByAC，则229xy的最小值为____________．12.设单调函数()ypx的定义域为D，值域为A，如果单调函数()yqx使得函数(())ypqx的值域也是A，则称函数()yqx是函数()ypx的一个“保值域函数”．已知定义域为,ab的函数2()3hxx，函数()fx与()gx互为反函数，且()hx是()fx的一个“保值域函数”，()gx是()hx的一个“保值域函数”，则ba___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.“1x”是“11x”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件14.《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）（A）21斛（B）34斛（C）55斛（D）63斛15.将函数1yx的图像按向量(1,0)a平移，得到的函数图像与函数2sin(24)yxx的图像的所有交点的横坐标之和等于（）（A）2（B）4（C）6（D）816.过椭圆221(4)4xymmm右焦点F的圆与圆22:1Oxy外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹是（）（A）一条射线（B）两条射线（C）双曲线的一支（D）抛物线NMCBA徐汇区高三数学本卷共4页第3页三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，2PAAD．（1）求异面直线PC与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若点E、F分别是棱AD和PC的中点，求证：EF⊥平面PBC．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2xxmfx是偶函数．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式22()31kfxk在(,0)上恒成立，求实数k的取值范围．19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间的B点处，丙船在最后面的C点处，且:3:1BCAB．一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB，090BPC．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）FEDCBAP徐汇区高三数学本卷共4页第4页20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212xy与双曲线22221(0,0)xyabab有相同的焦点12FF、，它们在y轴右侧有两个交点A、B，满足220FAFB．将直线AB左侧的椭圆部分（含A,B两点）记为曲线1W，直线AB右侧的双曲线部分（不含A,B两点）记为曲线2W．以1F为端点作一条射线，分别交1W于点(,)ppPxy，交2W于点(,)MMMxy(点M在第一象限),设此时MF1=1mFP.（1）求2W的方程;（2）证明:1pxm，并探索直线2MF与2PF斜率之间的关系;（3）设直线2MF交1W于点N，求1MFN的面积S的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下：第一行：1第二行：12第三行：1123第四行：11211234第五行：1121123112112345………………第k行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,,直至按原序抄写第1k行,最后添上数k.（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n个数记作na(如11a,21a,32a,41a,,73a,,14153,4,aa)．（1）用kt表示数表第k行的数的个数，求数列kt的前k项和kT；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0na表示第8行中的第73个数，试求0n和0na的值；若不是，请说明理由；（3）令123nnSaaaa，求2017S的值．W2W1PABNMF2F1yxO徐汇区高三数学本卷共4页第5页参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1.1,42.(1,0)3.1,34.15.86.7107.|2,3xxkkZ8.29.5(,1)910.880011.2512.1二、选择题：(共20分，每题5分)13.A14.A15.D16.C三、解答题17、zyxPCBDA(O)FEzyxPCBDA(O)解：（1）以点A为原点，以AB方向为x轴正方向，AD方向为y轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)PABCD,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PCAB,--------4分设,PCAB的夹角为，则43cos3232PCABPCAB,--------5分所以，,PCAB的夹角为3arccos3，即异面直线PC与AB所成角的大小为3arccos3.--------6分（2）因为点E、F分别是棱AD和PC的中点，可得(0,1,0)E，(1,1,1)F，所以(1,0,1)EF，--------8分又(0,2,0)BC，(2,2,2)PC，--------10分徐汇区高三数学本卷共4页第6页计算可得0,0EFPCEFBC，--------12分所以，,EFPCEFBC，又PCBCC，所以EF⊥平面PBC.--------14分18、(1)因为函数41()2xxmfx是定义域为R的偶函数，所以有()()fxfx，-2分即414122xxxxmm，即44122xxxxmm，------------------------------4分故m=1.-----------------------------------------6分(2)241()0,3102xxfxk，且22()31kfxk在(,0)上恒成立，故原不等式等价于22131()kkfx在(,0)上恒成立，--------------------8分又x(,0)，所以()2,fx，-------------------------------------10分所以110,()2fx，----------------------------11分从而221312kk，----------------------------12分因此，1,13k.-------------------------------------------------------------------14分19、(1)在APB中，由正弦定理，得1sinsin2APABABABPAPB，-----------2分在BPC中，由正弦定理，得sinsin1CPBCBCCBPCPB，-----------4分又31BCAB，sinsinABPCBP，--------------------------------------------6分故23APCP.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分CBAP徐汇区高三数学本卷共4页第7页(2)由:3:1BCAB得AC=400，且0120APC，------------------------------9分由(1)，可设AP=2x，则CP=3x，---------------------------------------------10分在APC中，由余弦定理，得160000=(2x)2+(3x)2-2(2x)(3x)cos1200，------12分解得x=400400191919，即无人机到丙船的距离为CP=3x=12001927519米.----14分20、解：（1）由条件，得2(1,0)F，根据220FAFB知，F2、A、B三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A、B关于x轴对称，故AB所在直线为x=1，从而得2(1,)2A，2(1,)2B.--------------2分所以，221112ab,又因为2F为双曲线的焦点，所以221ab，解得2212ab.---------------------------------------------------------------3分因此，2W的方程为2211122xy(1x).------------4分(2)由P(xp,yp)、M(xM,yM)，得1FP=(xp+1,yp)，1FM=(xM+1,yM)，由条件，得1(1)MpMpxmxymy，即1MpMpxmxmymy，---------------5分由P(xp,yp)、M(xM,yM)分别在曲线1W和2W上，有2222122(1)2()1ppppxymxmmy，消去yp，得2234(1)140ppmxmmxm(*)---------------7分将1m代入方程(*)，成立，因