第02章二能级体系的光学 Bloch 方程

31第二章二能级体系的光学Bloch方程这一章，我们用密度矩阵的方法处理二能级体系，推导出了光学Bloch方程，并详细讲述了其求解方法。把半经典理论应用于昀简单的二能级体系，从薛定谔方程出发，采用密度矩阵的术语，可以推导得到二能级体系的密度矩阵元的运动方程，这是一组非线性常微分方程，文献中常习惯称为的光学Bloch方程。这组方程是研究相干瞬态光学过程的基础。2.1密度矩阵密度是用矩阵力学的方法求平均值的一种方法，它的好处在于求平均值过程中，波函数的相位的影响削弱到昀低程度。这一节，我们给出密度矩阵的有关概念。量子力学系统可以处在两种不同状态。一种是纯态，这时系统可用波函数或态矢量直接表示；另一种是混合态，这时不能确切地知道系统处于哪一个纯态上，因此，无法用简单的波函数或态矢量来描述。在本课程，我们通常只涉及到纯态的情况。2.1.1二能级体系的密度矩阵为了简单起见，先讨论一个二能级体系，其结果可以直接推广到多能级。对于一个二能级体系，它的波函数是：12i11i22||e||ecccc(2.1.1)上式表法，波函数依赖于四个实参数1212||,||,,cc，但是按照波函数统计解释，只依赖于两个参数，一个是相对概率2122||||cc，另一个是相对相位12。如果波函数归一化的，则有：2212||||1cc(2.1.2)就只剩下一个相位任意性：和ie表示同一个态。为了克服这种任意性，定义一个密度矩阵，令：2*112*2212||||cccccc2.1.2纯系综的密度矩阵波函数是任意列矩阵，若：12nccc(2.1.3)为了给出密度矩阵定义为和†的张量积：322**111221*2*2†***2122112**212||||||nnnnnccccccccccccccccccccc(2.1.4)2.1.3密度算符密度算符的定义：设量子系统以概率ip处在状态i的某一个，其中i是一个指标，则,iip为一个纯态的系综。系统的密度算符定义为：iiiip(2.1.5)量子力学的所有假设都可以由密度算符重新描述。具有精确已知状态的量子系统称为处于纯态，即系统可以由一个矢量描述。两个纯态1和2通过叠加可以得到另一状态：1122cc(2.1.6)也是纯态。这时，密度算符就是：(2.1.7)否则，处于混合态。判断纯态和混合态的一个依据是：纯态满足2tr()1，而混合态满足2tr()1。2.1.4密度矩阵的性质物理量A在态下的平均值为：AA。取一组基矢n，利用基矢的完全性关系1nnn，有：tr()nnAnnAnAnA(2.1.8)一般混合态的密度矩阵元表示为：*()()iimninminmpctct(2.1.9)其中，密度算符为：()()iiiiptt(2.1.10)当1,0,iikpik(2.1.11)就成为纯态的情况。33密度算符的一些性质如下。(1)密度算符的迹与密度矩阵满足归一化，即有：tr()1(2.1.12)2()1nnnct(2.1.13)而且密度算符是一个半正定算符，即：0(2.1.14)(2)厄米性。(2.1.15)2(2.1.16)*nmmn(2.1.17)这一性质使得存在一组正交完备系使密度矩阵对角化，且密度矩阵的本征值为实数。(3)平均值的矩阵迹表达式与表象无关。tr()tr()aAA，,ssAsAs(2.1.18)其中，s表示表象变换，s是s的厄米共轭。(4)对于上述的展开式()()iinnntct，算符nn的平均值给出系统处于n的概率，即：2()innnct(2.1.19)(5)定义熵算符ln，则系统的熵：tr()lniiiSpp，(2.1.20)对于纯态，S=0。(6)对纯态的矩阵元mn，主对角线上的元素nn给出系统处于状态n的概率，非对角线上的元素反映态矢量叠加时的干涉效应。2.1.4密度矩阵的运动方程由密度矩阵的狄拉克形式，可以得到密度矩阵的运动方程如下，iiii,HHHHH(2.1.21)称为纯系综刘维尔(Liouvilee)方程。密度算符在一个具体的表象中的矩阵称为密度矩阵，从上式可直接写出密度矩阵元的方程如下：34iiijikkjikkjkkijHHiHkkjikkHj(2.1.22)以上的刘维尔方程实际上是在Schrödinger绘景中的，现在考虑在相互作用绘景下的运动方程，密度算符()t随时间的演化规律遵循：000d()d()()()()dd111()())()()()()[(),()]iiitttttttVttttttVttVttt(2.1.23)2.2二能级体系的密度矩阵现在用密度矩阵的方法来处理二能级体系。2.2.1密度矩阵的运动方程的导出由(2.1.7)式可知，密度算符的狄拉克形式为：()()()ttt(2.2.1)从如下的薛定谔方程出发，可以得到密度算符)(t随时间的演化方程，i()()()tHttt(2.2.2a)i()()()ttHtt(2.2.2b)式(2.2.1)对时间求导，并应用将式(2.2.2)代入，即，()d()()()()d()()()()()()iiii()()()()(),()ttttttttHttHttttHtttHtHtt(2.2.3a)或者用如下简写方式表示密度矩阵的运动方程，ii()()i()()()()(),()HtHtiHtttHtHtt(2.2.3b)称为纯系综刘维(Liouville)方程。从上式可直接写出密度矩阵元的方程如下：35i()()()()()()i()()()()ijikkjikkjkktitjHtttHtiHtkktjitkkHtj(2.2.4)对于如图1.2.1所示的光与二能级体系的相互作用模型，2为上能级，1为下能级，为体系的本征态，其本征能分别为22和11。根据(2.2.4)式，我们有：2;1,2;2jki122122221221222222HHHHi(2.2.5a)1;1,2;2jki112121221121212221HHHHi(2.2.5b)2;1,2;1jki121122121211221212HHHHi(2.2.5c)1;1,2;1jki111121121111211211HHHHi(2.2.5d)在光场作用下体系总哈密顿量(Hamilton)为,22210I1211()()()()()()HtHtHtHHtHtHt(2.2.6)式中，0H是体系的哈密顿量，12112200000HHH(2.2.7)IH是光场与体系的相互作用哈密顿，习惯用)(tV表示，2121I12120()0()()()()0()0HtVtHtVtHtVt(2.2.8)所以，总的哈密顿量为，22212210I1211121()()()()HHtVtHHHHtHVt(2.2.9)在电偶极近似下，这种近似的实质是原子大小，远小于光波的波长，在原子范围内，光场近似为常数。36这样，在计算光场与原子相互作用时，认为光场E与空间坐标无关，下式中的光场项就可以提到积分号外面，321212121()[]()d()()dVreErrreErrrreEr(2.2.10)根据标量场假定，相互作用项应为，EertEretV)()()((2.2.11)矩阵元为EEerV212121)((2.2.12a)*12*12*1212)(EEerVV(2.2.12b)适当选取波函数的位相可使矩阵元21er为实数，即有，*2112122112erer(2.2.13)对图1.2.1所示的二能级体系，由已知波函数或波基矢，可构成体系的任何如下波函数，22()()2()1tctct(2.2.14)由展开系数定义的矩阵元构成矩阵，即为纯系综的密度矩阵，记作()t，22211211()()()()()ttttt(2.2.15)上式，所表示的密度矩阵的对角元*2222()()()tctct和1*111cc显然是处于2态和1态的几率。由22()t和11()t的含义，在粒子数没有衰减的情况下，2211()()1tt，即态几率等于1。由此可知密度矩阵的一个性质，2211Tr()()()ttt(2.2.16)密度矩阵的非对角元与原子的偶极矩有关。可通过计算电偶极矩阵的平均值，来揭示其物理意义。由于宇称守恒的要求，电偶极算符的对角元必为零，故有，211200ererer(2.2.17)其平均值为2112122112212112Trerererr(2.2.18)式中，***21121221()()()()()()tctcttctct，比例于复数电偶极矩。即2112()()tt是以21为单位的原子电偶极矩，其中21是原子的电偶极矩的正频部分，而12是原子的电偶极矩的负频部分。37将(2.2.12)式应用到(2.2.5)式，可得，212121212211i()i()()()()ttVttt(2.2.19a)122112122211i()i()()()()ttVttt(2.2.19b)2221122112i()()()()()tVtttVt(2.2.19c)1121121221i()()()()()tVttVtt(2.2.19d)2.2.2含衰减过程的密度矩阵运动方程方程(2.2.19)还没能计及能级衰减，考虑各种因素造成的能级衰减，则密度矩阵运动方程还应进行适当的修正。令上、下能级的衰减分别为21,，则衰减过程的影响是，22222()()tt(2.2.20a)11111()()tt(2.2.20b)由于2222()()()tctct，可以从形式上考查2c和*2c，并且注意2和1都是实数，则有222()()2ctct(2.2.21a)222()()2ctct(2.2.21b)111()()2ctct(2.2.21c)111()()2ctct(2.2.21d)这样，非对角元的衰减为211212211221211()()()()()()()()2tctctctctctctt(2.2.22)式中21212()，这样，由于原子的衰减，也会导致原子的电偶极矩21()t的衰减，这种衰减类似于电偶极振子的衰减，必然会使辐射的谱线有一定的线宽。另外，粒子之间的弹性碰撞，虽不引起能级衰减，但却可以引起本征态的相位分布的混乱，因